Областная олимпиада по математике, 2011 год, 11 класс

В треугольнике углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ противолежат сторонам $a$, $b$, $c$ соответственно. Докажите неравенство $$a\left( {\frac{1}{\beta } + \frac{1}{\gamma }} \right) + b\left( {\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\gamma }} \right) + c\left( {\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta }} \right) \geqslant 2\left( {\frac{a}{\alpha } + \frac{b}{\beta } + \frac{c}{\gamma }} \right).$$

Комментарий/решение

$a\ge b\ge c$ болсын. Онда $\alpha\ge \beta \ge \gamma$ болады. $\Rightarrow \ \ \frac{1}{\gamma }\ge \frac{1}{\beta } \ge \frac{1}{\alpha }$

Берілген теңсіздік келесі теңсіздікпен эквивалентті:

$(\frac{1}{\gamma }- \frac{1}{\beta } )(a+b-2c) + (\frac{1}{\beta }-\frac{1}{\alpha })(2a-b-c)\ge 0$