Математикадан облыстық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 11 сынып

Үшбұрышта $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ бұрыштары сәйкесінше ұзындықтары $a$, $b$, $c$ болатын қабырғаларына қарсы жатыр. Теңсіздікті дәлелдеңіздер: $$ a\left( {\dfrac{1}{\beta } + \dfrac{1}{\gamma }} \right) + b\left( {\dfrac{1}{\alpha } + \dfrac{1}{\gamma }} \right) + c\left( {\dfrac{1}{\alpha } + \dfrac{1}{\beta }} \right) \geqslant 2\left( {\dfrac{a}{\alpha } + \dfrac{b}{\beta } + \dfrac{c}{\gamma }} \right). $$

Комментарий/решение

$a\ge b\ge c$ болсын. Онда $\alpha\ge \beta \ge \gamma$ болады. $\Rightarrow \ \ \frac{1}{\gamma }\ge \frac{1}{\beta } \ge \frac{1}{\alpha }$

Берілген теңсіздік келесі теңсіздікпен эквивалентті:

$(\frac{1}{\gamma }- \frac{1}{\beta } )(a+b-2c) + (\frac{1}{\beta }-\frac{1}{\alpha })(2a-b-c)\ge 0$