Областная олимпиада по математике, 2011 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Пусть

$ABC$ — треугольник с целочисленными длинами сторон. Биссектриса, проведенная из вершины

$B$ , и высота, опущенная из вершины

$C$ , пересекаются внутри треугольника в точке

$P$ . Докажите, что отношение площадей треугольников

$APB$ и

$APC$ — рациональное число.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Пусть

$p$ — простое число. Найдите количество всех упорядоченных троек

$(a,b,c)$ , удовлетворяющих двум условиям:
i) числа

$a,b,c$ принадлежат множеству

$\lbrace1,2, \dots ,2p^2\rbrace$ ;
ii)

$\dfrac{[a,c]+[b,c]}{a+b}=c \cdot \dfrac{p^2+1}{p^2+2}$ , где

$[x,y]$ обозначает наименьшее общее кратное чисел

$x$ и

$y$ .
комментарий/решение(3)

Задача №3. Пусть

$A=1-{{2}^{-2011}}$ . Докажите, что

$A+{{A}^{2}}+{{A}^{4}}+\dots +{{A}^{{{2}^{1000000000}}}}<2012$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. У кассирши в одной пачке 200 денежных купюр. Она должна все купюры в пачке перевернуть лицевой стороной вверх, причем порядок купюр в пачке не имеет значения. На каждом шагу она выбирает некоторое количество купюр, лежащих в пачке подряд, и переворачивает всю выбранную часть пачки. Найдите наименьшее возможное число шагов, которого достаточно при любом изначальном положении купюр, чтобы перевернуть все имеющиеся в пачке купюры лицевой стороной вверх.
комментарий/решение

Задача №5. Найдите все строго возрастающие функции

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такие, что для любых вещественных

$x$ и

$y$ ,

$x\neq y$ , выполняется соотношение

$\frac{{2\left( {f\left( y \right) - f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)} \right)}}{{f\left( x \right) - f\left( y \right)}} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( y \right)}}{{2\left( {f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right) - f\left( x \right)} \right)}}.$ Здесь

$\mathbb{R}$ обозначает множество вещественных чисел.
комментарий/решение(5)

Задача №6. В треугольнике углы

$\alpha$ ,

$\beta$ ,

$\gamma$ противолежат сторонам

$a$ ,

$b$ ,

$c$ соответственно. Докажите неравенство

$a\left( {\frac{1}{\beta } + \frac{1}{\gamma }} \right) + b\left( {\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\gamma }} \right) + c\left( {\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta }} \right) \geqslant 2\left( {\frac{a}{\alpha } + \frac{b}{\beta } + \frac{c}{\gamma }} \right).$
комментарий/решение(1)