Областная олимпиада по математике, 2011 год, 11 класс

Пусть $A=1-{{2}^{-2011}}$. Докажите, что $A+{{A}^{2}}+{{A}^{4}}+\dots +{{A}^{{{2}^{1000000000}}}}<2012$.

Комментарий/решение

Непер теңсіздігі бойынша: Кез келген $n$ натурал сан үшін $2\leq \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n<3$ теңсіздігі орындалады.

$m=2^{2011}$ деп белгілейік. Сонда $A^{2^{2011}}=A^m=\left ( 1-\frac{1}{m} \right )^m=\frac{1}{\left ( 1+\frac{1}{m-1}\right )^m}< \frac{1}{\left ( 1+\frac{1}{m-1} \right )^{m-1}}\leq \frac{1}{2}.$

Онда $A^{2^{2011}}<\frac{1}{2}$ және $A<1$.

$$A+A^2+A^4+...+A^{2^{1000000000}}=\underset{2011}{\underbrace{A^{2^0}+A^{2^1}+A^{2^2}+...+A^{2^{2010}}}}+\underset{999997990}{\underbrace{A^{2^{2011}}+...+A^{2^{1000000000}}}}<\underset{2011}{\underbrace{1+1+...+1}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...\frac{1}{2^{999997990}}=2011+1-\frac{1}{2^{999997990}}<2012.$$