Областная олимпиада по математике, 2011 год, 11 класс
Найдите все строго возрастающие функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такие, что для любых вещественных $x$ и $y$, $x\neq y$, выполняется соотношение
$$
\frac{{2\left( {f\left( y \right) - f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)} \right)}}{{f\left( x \right) - f\left( y \right)}} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( y \right)}}{{2\left( {f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right) - f\left( x \right)} \right)}}.
$$
Здесь $\mathbb{R} $ обозначает множество вещественных чисел.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть $f(x)=a, \; f(y)=b, \; f\left(\cfrac{x+y}{2}\right)=c$, тогда получим:
$\cfrac{2(b-c)}{a-b}=\cfrac{a-b}{2(c-a)}$
$4(c-a)(c-b)+(a-b)^2=0$
$(2c-(a+b))^2=0$
$c=\cfrac{a+b}{2}$
$f\left(\cfrac{x+y}{2}\right) = \cfrac{f(x)+f(y)}{2}$
Получили уравнение Йенсена, которому удовлетворяют все линейные функции $f(x)=ax+b$.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.