Областная олимпиада по математике, 2011 год, 11 класс

Найдите все строго возрастающие функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такие, что для любых вещественных $x$ и $y$, $x\neq y$, выполняется соотношение $$\frac{{2\left( {f\left( y \right) - f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)} \right)}}{{f\left( x \right) - f\left( y \right)}} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( y \right)}}{{2\left( {f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right) - f\left( x \right)} \right)}}.$$ Здесь $\mathbb{R}$ обозначает множество вещественных чисел.

Комментарий/решение

Пусть $f(x)=a, \; f(y)=b, \; f\left(\cfrac{x+y}{2}\right)=c$, тогда получим:

$\cfrac{2(b-c)}{a-b}=\cfrac{a-b}{2(c-a)}$

$4(c-a)(c-b)+(a-b)^2=0$

$(2c-(a+b))^2=0$

$c=\cfrac{a+b}{2}$

$f\left(\cfrac{x+y}{2}\right) = \cfrac{f(x)+f(y)}{2}$

Получили уравнение Йенсена, которому удовлетворяют все линейные функции $f(x)=ax+b$.

Красивое решение. Спасибо.

Надо указать что угловой коэффициент больше нуля

Что?

Когда я в этой олимп участвовал, мне сняли 1б за отсутствия а>0