Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2021 год

Есеп №1.  Кез келген нақты $r > 2$ саны үшін $x^2 = r[x]$ теңдігі орындалатындай дәл екі немесе үш нақты оң $x$ санының табылатынын дәлелдеңіз. (Бұл жерде $[x]$ арқылы $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген).
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2.  $P$ көпмүшесі және натурал $n$ саны үшін $P_n$ арқылы $ |P(a)|-|P(b)|$ азайтындысы $n$ санына бөлінетіндей натурал $(a, b)$ жұптарының ($a < b\leq n$) санын белгілейік. Кез келген натурал $n$ саны үшін $P_n\leq 2021$ теңсіздігі орындалатындай, коэффициенттері бүтін сандар болатын барлық $P$ көпмүшелерін табыңыз.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3.  $\Gamma $ шеңберіне дөңес $ABCD$ төртбұрышы іштей сызылған. Төртбұрыштың $AC$ және $BD$ диагоналдары $E$ нүктесінде қиылысады. $L$ нүктесі $AB$, $BC$, $CD$ кесінділерін жанайтын шеңбердің центрі. $M$ нүктесі $\Gamma$ шеңберінің $BC$ доғасының ($A$ және $D$ нүктелерін қамтымайтын) ортасы. $E$ төбесіне сәйкес келетін $BCE$ үшбұрышына іштейсырт сызылған шеңбердің центрі $LM$ түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4.  Өлшемі $32\times 32$ болатын шаршылы үстелдің төменгі және сол жақтағы шаршысында тышқан отыр (тышқан жоғарғы шаршы бағытына қарай алдыға қарап отыр), ал қалған шаршылардың кейбіреулерінде ірімшік тұр. Тышқан қозғалысты бастайды. Ол қозғалысын ірімшік тұрған шаршыға түскенге дейін жалғастырады, сосын ірімшіктің бір бөлігін жеп, одан кейін оңға бұрылып, сосын қозғалысын ары қарай жалғастырады. Ірімшігі бар шаршылар жиынын жақсы жиын деп атайық, егер жоғарыдағы процессте тышқан әр ірімшіктің бөлігін дәл бір рет жеп, сосын үстелген төмен қарай түсіп кетсе.
   (a) 888 шаршыдан тұратын жақсы жиын жоқ екенін дәлелдеңіз.
   (b) Кемінде 666 шаршыдан тұратын жақсы жиын бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)

---

Есеп №5.  Кез келген бүтін $a$ және $b$ сандары үшін $f (f(a)-b)+bf(2a)$ саны толық квадрат болатындай барлық $f: \, \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ функцияларын анықтаңыз.
комментарий/решение(1)

---