Processing math: 100%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2021 год


Докажите, что для каждого вещественного числа r>2 существуют ровно два или три положительных вещественных числа x, удовлетворяющих равенству x2=r[x]. (Здесь [x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   4
3 года 8 месяца назад #

Решение: Заметим, что если x<1, то r=0. Поэтому x1. Рассмотрим f:[1,+)R+, что f(x)=x2[x].

Лемма: Рассмотрим любое nN. На отрезке an=[n,n+1) функция f имеет область значении bn=[n,n+2+1n), а так же биективна.

Д-во: Если xan, то f(x2)=x2n, откуда легко выводиться лемма.

Пусть [r]=m2. Заметим, что r[m,m+1)bm,bm1, но [m,m+1)bk=,k[1,m3][m+1,+).

Из этого следует, что на отрезках am,am1 функция f принимает значение r ровно один раз, а так же f может принимать значение r только на отрезках am,am1,am2 (при этом не более одного раза), откуда следует требуемое.

Примечание: i1ai=[1,+).

пред. Правка 4   1
11 месяца 9 дней назад #

Поймем, что у таких подходящих x не может быть, что дробная часть одинаковая. Тогда кол-во подходящих дробной части x соответствует кол-ву подходящих x.

Зафиксируем r пусть тогда

[x]=a;x[x]=b тогда найдем все такие a, что ar<1a+2+a нетрудно заметить, что их всего либо 2 либо 3 (просто подставьте a=[r];[r]1;[r]2)

Тогда уравнение в условии можно переписать в виде

b2+2ab+a2ar=0

Зафиксируем a тогда

b2+b×2a+a2ar=0

D=4a24a2+4ar=4ar

b=ara

Подставив, поймем, что только такие значения a подойдут(которые удовлетворяет неравенствам). ЧТД

Скажите пожалуйста если есть ошибка в решений