Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2021 год
Комментарий/решение:
Решение: Заметим, что если x<1, то r=0. Поэтому x≥1. Рассмотрим f:[1,+∞)→R+, что f(x)=x2[x].
Лемма: Рассмотрим любое n∈N. На отрезке an=[n,n+1) функция f имеет область значении bn=[n,n+2+1n), а так же биективна.
Д-во: Если x∈an, то f(x2)=x2n, откуда легко выводиться лемма. ◼
Пусть [r]=m≥2. Заметим, что r∈[m,m+1)⊂bm,bm−1, но [m,m+1)∩bk=∅,∀k∈[1,m−3]∪[m+1,+∞).
Из этого следует, что на отрезках am,am−1 функция f принимает значение r ровно один раз, а так же f может принимать значение r только на отрезках am,am−1,am−2 (при этом не более одного раза), откуда следует требуемое. ◼
Примечание: ⋃i≥1ai=[1,+∞).
Поймем, что у таких подходящих x не может быть, что дробная часть одинаковая. Тогда кол-во подходящих дробной части x соответствует кол-ву подходящих x.
Зафиксируем r пусть тогда
[x]=a;x−[x]=b тогда найдем все такие a, что a≤r<1a+2+a нетрудно заметить, что их всего либо 2 либо 3 (просто подставьте a=[r];[r]−1;[r]−2)
Тогда уравнение в условии можно переписать в виде
b2+2ab+a2−ar=0
Зафиксируем a тогда
b2+b×2a+a2−ar=0
D=4a2−4a2+4ar=4ar
b=√ar−a
Подставив, поймем, что только такие значения a подойдут(которые удовлетворяет неравенствам). ЧТД
Скажите пожалуйста если есть ошибка в решений
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.