Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2021 год

Задача №1. Докажите, что для каждого вещественного числа

$r > 2$ существуют ровно два или три положительных вещественных числа

$x$ , удовлетворяющих равенству

$x^2 = r[x]$ . (Здесь

$[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее

$x$ ).
комментарий/решение(2)

Задача №2. Для многочлена

$P$ и натурального числа

$n$ обозначим через

$P_n$ количество пар натуральных чисел

$(a, b)$ таких, что

$a < b\leq n$ и

$|P(a)|-|P(b)|$ делится на

$n$ . Найдите все многочлены

$P$ с целыми коэффициентами такие, что

$P_n\leq 2021$ для всех натуральных

$n$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. Пусть

$ABCD$ — вписанный выпуклый четырехугольник, и

$\Gamma$ — его описанная окружность. Пусть

$E$ — точка пересечения диагоналей

$AC$ и

$BD$ ;

$L$ — центр окружности, касающейся отрезков

$AB$ ,

$BC$ ,

$CD$ ;

$M$ — середина той из дуг

$BC$ окружности

$\Gamma$ , которая не содержит точек

$A$ и

$D$ . Докажите, что центр вневписанной окружности треугольника

$BCE$ напротив вершины

$E$ лежит на прямой

$LM$ .
комментарий/решение(2)

Задача №4. На клетчатом столе

$32\times 32$ в левой нижней клетке сидит мышь (и смотрит вперёд на верхнюю от нее клетку), а еще в нескольких других клетках разложены куски сыра. Мышь начинает двигаться. Она двигается вперед до тех пор, пока не попадет в клетку с сыром, далее мышь съедает часть сыра, поворачивает направо и продолжает ползти прямо. Назовем множество клеток, содержащих сыр, хорошим, если в этом процессе мышь попробует каждый кусок сыра ровно по одному разу и после этого свалится со стола. Докажите, что:
(a) Не существует хорошего множества, состоящего из 888 клеток.
(b) Существует хорошее множество, состоящее из не менее чем 666 клеток.
комментарий/решение(4)

Задача №5. Найдите все функции

$f: \, \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ такие, что

$f (f(a)-b)+bf(2a)$ является точным квадратом при любых целых

$a$ и

$b$ .
комментарий/решение(1)

результаты