Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2021 год
Комментарий/решение:
Решение: Пусть P(a,b) обозначает условие и S множество всех целых квадратов.
P(0,f(0)):f(0)2+f(0)∈S, откуда легко находим, что f(0)=0 или f(0)=−1.
Если: f(0)=0.
P(0,−b):f(b)∈S.
P(a,f(a)−2a):f(2a)⋅(f(a)−2a+1)∈S⟹f(2a)=0 или f(a)−2a+1∈S.(i)
Теперь рассмотрим два случая:
Случай 1: Существует t>0, что f(t)=0.
P(t,−t):−tf(2t)∈S, но поскольку и f(2t)∈S, следует f(2t)=0⟹f(2zt)=0,∀z∈N0.
P(a,f(a)−2zt):(f(a)−2zt)f(2a)∈S, но f(2a)∈S, поэтому f(2a)=0,∀a.
∙ Откуда получаем ответ f(2x)≡0 и f(2x−1)≡any square.
Случай 2: f(x)≠0,∀x>0.
Из (i) для a=p+12>0⟹f(a)=a2,∀p>2 простых.
Пусть x достаточно большое, что f(x)=x2.
P(a,f(a)−x):x2+(f(a)−x)f(2a)∈S⟹(2x−C1)2+(4C2−C21)=4x2−4C1x+4C2∈S,
откуда 4C2=C21⟺f(2a)=4f(a).
P(x,x2−a):f(a)+4x2(x2−a)∈S⟹(2x2−a)2+(f(a)−a2)∈S,
∙ Откуда получает очередной ответ f(x)≡x2.
Если f(0)=−1.
P(a,0):f(f(a))∈S⟹f(−1)∈S..
P(0,-b-1): f(b)+b+1\in S\implies f(f(a))+f(a)+1\in S\implies f(a)\equiv \{0,2,3\}\pmod 4.
Но из P(-1,f(-1)):f(-1)f(-2)-1\in S, что невозможно, поскольку f(-1)\equiv 0\pmod 4.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.