Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2021 год

Найдите все функции $f: \, \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ такие, что $f (f(a)-b)+bf(2a)$ является точным квадратом при любых целых $a$ и $b$.

Комментарий/решение

Решение: Пусть $P(a,b)$ обозначает условие и $S$ множество всех целых квадратов.

$P(0,f(0)): f(0)^2+f(0) \in S,$ откуда легко находим, что $f(0)=0$ или $f(0)=-1.$

Если: $f(0)=0.$

$P(0,-b): f(b)\in S.$

$P(a,f(a)-2a): f(2a)\cdot(f(a)-2a+1)\in S \implies f(2a)=0$ или $f(a)-2a+1\in S. \quad (i)$

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: Существует $t>0,$ что $f(t)=0.$

$P(t,-t): -tf(2t)\in S,$ но поскольку и $f(2t)\in S,$ следует $f(2t)=0\implies f(2^zt)=0, \forall z\in\mathbb N_{0}.$

$P(a, f(a)-2^zt):(f(a)-2^zt)f(2a)\in S,$ но $f(2a)\in S,$ поэтому $f(2a)=0, \forall a.$

$\bullet$ Откуда получаем ответ $f(2x)\equiv 0$ и $f(2x-1)\equiv \text{any square}.$

Случай 2: $f(x)\neq 0,\forall x>0.$

Из $(i)$ для $a=\dfrac{p+1}{2}>0\implies f(a)=a^2, \forall p>2$ простых.

Пусть $x$ достаточно большое, что $f(x)=x^2.$

$P(a,f(a)-x):x^2+(f(a)-x)f(2a)\in S\implies (2x-C_1)^2+(4C_2-C_1^2)=4x^2-4C_1x+4C_2\in S,$

откуда $4C_2=C_1^2\iff f(2a)=4f(a).$

$P(x,x^2-a): f(a)+4x^2(x^2-a)\in S\implies (2x^2-a)^2+(f(a)-a^2)\in S,$

$\bullet$ Откуда получает очередной ответ $f(x)\equiv x^2.$

Если $f(0)=-1.$

$P(a,0): f(f(a))\in S\implies f(-1)\in S..$

$P(0,-b-1): f(b)+b+1\in S\implies f(f(a))+f(a)+1\in S\implies f(a)\equiv \{0,2,3\}\pmod 4.$

Но из $P(-1,f(-1)):f(-1)f(-2)-1\in S,$ что невозможно, поскольку $f(-1)\equiv 0\pmod 4.$