Processing math: 92%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2021 год


Найдите все функции f:ZZ такие, что f(f(a)b)+bf(2a) является точным квадратом при любых целых a и b.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
3 года назад #

Решение: Пусть P(a,b) обозначает условие и S множество всех целых квадратов.

P(0,f(0)):f(0)2+f(0)S, откуда легко находим, что f(0)=0 или f(0)=1.

Если: f(0)=0.

P(0,b):f(b)S.

P(a,f(a)2a):f(2a)(f(a)2a+1)Sf(2a)=0 или f(a)2a+1S.(i)

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: Существует t>0, что f(t)=0.

P(t,t):tf(2t)S, но поскольку и f(2t)S, следует f(2t)=0f(2zt)=0,zN0.

P(a,f(a)2zt):(f(a)2zt)f(2a)S, но f(2a)S, поэтому f(2a)=0,a.

Откуда получаем ответ f(2x)0 и f(2x1)any square.

Случай 2: f(x)0,x>0.

Из (i) для a=p+12>0f(a)=a2,p>2 простых.

Пусть x достаточно большое, что f(x)=x2.

P(a,f(a)x):x2+(f(a)x)f(2a)S(2xC1)2+(4C2C21)=4x24C1x+4C2S,

откуда 4C2=C21f(2a)=4f(a).

P(x,x2a):f(a)+4x2(x2a)S(2x2a)2+(f(a)a2)S,

Откуда получает очередной ответ f(x)x2.

Если f(0)=1.

P(a,0):f(f(a))Sf(1)S..

P(0,-b-1): f(b)+b+1\in S\implies f(f(a))+f(a)+1\in S\implies f(a)\equiv \{0,2,3\}\pmod 4.

Но из P(-1,f(-1)):f(-1)f(-2)-1\in S, что невозможно, поскольку f(-1)\equiv 0\pmod 4.