Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2021 год
Пусть ABCD — вписанный выпуклый четырехугольник, и Γ — его описанная окружность. Пусть E — точка пересечения диагоналей AC и BD; L — центр окружности, касающейся отрезков AB, BC, CD; M — середина той из дуг BC окружности Γ, которая не содержит точек A и D. Докажите, что центр вневписанной окружности треугольника BCE напротив вершины E лежит на прямой LM.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
L есть точка пересечения биссектрис ∠ABC,∠BCD пусть ∠DBL=a, ∠CBL=x, ∠ACL=b, ∠BCL=y тогда ∠KCB=90∘−b+y2 и ∠ACD=y−b так как ∠DEC=a+b+x+y значит ∠CDB=180∘−(a+x+2y) и так как M середина ∪ BC тогда ∠CDM=∠CBM=90∘−a+x+2y2 значит ∠KBM=y аналогично ∠KCM=x то есть ∠KCL=∠KBL (1)
По теореме Чевы тр BCK в угловой форме выходит :
sinxsiny=sin∠MKCsin∠BMK
Но с другой стороны в тр BCL получается sinxsiny=CLBL
значит из KCL,BKL и (1)
sin∠LKCsin∠BKL=sin∠MKCsin∠BKM учитывая ∠LKC+∠BKL=∠MKC+∠BKM откуда ∠LKC=∠MKC то есть M∈LK.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.