Processing math: 100%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2021 год


Пусть ABCD — вписанный выпуклый четырехугольник, и Γ — его описанная окружность. Пусть E — точка пересечения диагоналей AC и BD; L — центр окружности, касающейся отрезков AB, BC, CD; M — середина той из дуг BC окружности Γ, которая не содержит точек A и D. Докажите, что центр вневписанной окружности треугольника BCE напротив вершины E лежит на прямой LM.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
3 года 8 месяца назад #

L есть точка пересечения биссектрис ABC,BCD пусть DBL=a, CBL=x, ACL=b, BCL=y тогда KCB=90b+y2 и ACD=yb так как DEC=a+b+x+y значит CDB=180(a+x+2y) и так как M середина  BC тогда CDM=CBM=90a+x+2y2 значит KBM=y аналогично KCM=x то есть KCL=KBL (1)

По теореме Чевы тр BCK в угловой форме выходит :

sinxsiny=sinMKCsinBMK

Но с другой стороны в тр BCL получается sinxsiny=CLBL

значит из KCL,BKL и (1)

sinLKCsinBKL=sinMKCsinBKM учитывая LKC+BKL=MKC+BKM откуда LKC=MKC то есть MLK.

  2
6 месяца 9 дней назад #

CL(ABC)=N,BL(ABC)=K,MKCL=Q,MNBL=P

O центр вневписаной.

BMN=BCL=0,5BCD,MBC=0,5BDC отсюда

CBD=180BDCBCD=>OBM=BMN=>OB||MN аналогично MK||CO. Заметим что PQNK вписаный и PQ||BC значит L центр гомотетит и LMO