Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2021 год


P көпмүшесі және натурал n саны үшін Pn арқылы |P(a)||P(b)| азайтындысы n санына бөлінетіндей натурал (a,b) жұптарының (a<bn) санын белгілейік. Кез келген натурал n саны үшін Pn2021 теңсіздігі орындалатындай, коэффициенттері бүтін сандар болатын барлық P көпмүшелерін табыңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   3
3 года 1 месяца назад #

Ответ: P(x)x+b или P(x)xb для всех целых b2022.

Рассмотрим случай degP2. Пусть P(x)=adxd++a0. Замена PP ничего не меняет, поэтому БОО старший коэф. P больше нуля. Ясно, что degP1 и его старший коэф. равен dad.

Поэтому: (1) Сущ. MN, что P(x)>0,xM;

(2) Сущ. s,tN, что P(s)=t, а так же t2>(M+2022)t+sP(s)2(M+2022)P(s)s>0.

Лемма: Для xys(modt) верно, что t2P(x)P(y).

Д-во: Можем записать так: P(x)P(y)=(xy)Q(x,y). Заметим, что

Q(x,y)Q(x,x)P(x)P(s)0(modt).

Рассмотрим пары (x,y) вида (it+s,(i+1)t+s), где i=M,,M+2021, тогда

t2P(x)P(y)=|P(x)||P(y)|.

Следовательно для n=t2 условие Pn2021 не выполняется. Значит degP=1 (очевидно, что степень не 0).

Пусть P(x)=ax+b. Замена PP ничего не меняет, поэтому достаточно решить случай a>0. Сущ. NN, что P(x)>0,xN.

Если a>1, то

a(xy)=P(x)P(y)=|P(x)||P(y)|,x,yN.

Пусть m натуральное число такое, что am>N+2021+m. Рассмотрим пары (x,y) вида (N+i,N+i+m), где i=0,,2021 тогда

am(am)=|P(x)||P(y)|,

следовательно для n=am условие Pn2021 не выполняется. Значит P(x)=x+b. Если b2023, то для n=2022bPn=2022, что не удовлетворяет условию. Значит b2022, что очевидно подходит. Обратной заменой PP находим второй ответ.

  3
2 года 1 месяца назад #

Сперва поймем, что P не константа и БОО старший коэффициент положительный.

Существует x0 такой, что x>x0 P(x) положительный, поэтому наше условие можно заменить на такое: количество пар (a,b) с x0<a<bn,P(a)P(b)n ограничено.

Пусть p простое и p2|n. По ряду Тейлора a,x0<annp,

P(x+np)P(x)=P(x)1!np+P

Заметим, что при p | P'(x) пара (x+\frac{n}{p}, x) подходит: каждый член справа делится на n, потому что \frac{P^{(d)}(x)}{d!} \in \mathbb{Z} и n | \left( \dfrac{n}{p} \right)^2. Из этого следует, что p | P'(x) для ограниченного количества x. Вспомним, что P'(x) - многочлен с целыми коэффициентами, значит p | P'(x) \Leftrightarrow p | P'(x + pk) \forall k \in \mathbb{Z}, значит если есть хотя бы для одного x P'(x) \vdots p, то существует хотя бы \frac{n}{p}-1-\left[ \frac{x_0-1}{p} \right] таких x между x_0 и n-\frac{n}{p}. Но это число мы можем сделать произвольно большим, противоречие.

Тогда мы получили, что для всех больших x P'(x) не делится ни на какие простые p, то есть |P'(x)| \leq 1, значит это всегда 1 и P(x)=x+c. Проверяем и получаем, что \boxed{P(x)=\pm(x+c) \forall c \geq -2022}.