қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 9 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $ABCD$ квадратының центрі $O$ нүктесі болсын, ал $E$ нүктесі $C$ нүктесіне қатысты $O$–ға симметриялы. $P$ нүктесі арқылы $BDE$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер мен $AO$ кесіндісінің қиылысу нүктесін белгілейік. $P$ нүктесі $AO$ кесіндісінің ортасы екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Теңдеуді қанағаттандыратындай барлық $m$, $n$ бүтін сандарын табыңыздар: $3\cdot 2^m+1=n^2.$
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №3. $a+b+c=x+y+z$ болатындай $a$, $b$, $c$ — теріс емес нақты, $x$, $y$, $z$ —оң нақты сандар болсын. Теңсіздікті дәлелдеңіздер:
$$
\dfrac{{a^3 }}
{{x^2 }} + \dfrac{{b^3 }}
{{y^2 }} + \dfrac{{c^3 }}
{{z^2 }} \geq a + b + c.
$$
комментарий/решение(8)
комментарий/решение(8)
Есеп №4. $\angle A =2\angle B$ қатынасы орындалатындай $ABC$ үшбұрышы үшін $a^2=b(b+c)$ теңдігін дәлелдеңіздер, мұндағы $a, b, c$ — сәйкесінше $BC, CA, AB$ қабырғаларының ұзындықтары.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №5. Өрнектің мәнін табыңыздар:
$$
\left[ {\sqrt {2010^2 + 1} + \sqrt {2010^2 + 2} + \dots + \sqrt {2010^2 + 4020} } \right],
$$ мұндағы $[x]$ арқылы $x$ санының бүтін бөлігін аламыз, яғни $x$–тен аспайтын ең үлкен бүтін сан.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Қабырғалары әр түрлі түсті болатын 100 ыдыс бар: әрбір ыдыстың бір жағы көк түсті, ал екінші жағы қызыл түсті(реверси ойынындағыдай). Осы ыдыстардың дұрыс 100-қабырғалы көпбұрыштардың төбелерінде орналасуын \emph{конфигурация} деп атаймыз. Бір жүрісте қатар тұрған үш ыдыс аударуға болады. Бастапқы мөлшерленген шекті жүріс санына байланысты ыдыстардың қанша түрлі конфигурациясын алуға болады? (екі конфигурация әр түрлі болады, егер олар кем дегенде бір төбедегі түсі әр түрлі болса.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)