Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс


Пусть a, b, c — неотрицательные, а x, y, z — положительные действительные числа такие, что a+b+c=x+y+z. Докажите неравенство: a3x2+b3y2+c3z2a+b+c.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
9 года 2 месяца назад #

a3x2+x+x3a

  3
8 года 3 месяца назад #

Дополню вышеописанную идею решения автора

a3x2+x+x3a3x2x2=3a по неравенству о средних , аналогично c другими , суммируя

a3x2+b3y2+c3z2+2x+2y+2z3(a+b+c)

учитывая что a+b+c=x+y+z получаем требуемое .

пред. Правка 2   -2
5 года 10 месяца назад #

By theorem Cauchy Scwarz in Engel form

a3x2=a2x2a

x21y1++x2nyn(x1++xn)2y1++yn

a2x2a+b2y2b+c2z2c(a+b+c)2x2a+y2b+z2c

x2a+y2b+z2c(x+y+z)2a+b+c

(a+b+c)2(x+y+z)2a+b+c=a+b+c

  0
5 года 10 месяца назад #

Если ты уменьшишь знаменатель, то дробь увеличиться.

пред. Правка 2   0
5 года 10 месяца назад #

Ведь у нас теорема действует на положительные, также так как на неотрицательные (я говорю о правке 2, первая неправильно)

  0
5 года 10 месяца назад #

Ты с помощью неравенства на пятой строке уменьшил знаменатель на четвёртой строке.

  0
17 дней 15 часов назад #

Списал с аопс и теперь крутой, bruh

  3
4 года 8 месяца назад #

По неравенсту Гёлдера:(a3x2+b3y2+c3z2)(x+y+z)(x+y+z)(a+b+c)3

Так как a+b+c=x+y+z(a3x2+b3y2+c3z2)(a+b+c)

  1
3 года 6 месяца назад #

По неравенству Коши a3x2+b3y2+c3z2 = a4x2a+b4y2b+c4z2c(a2x+b2y+c2z)2a+b+c((a+b+c)2x+y+z)2a+b+c=a+b+c

  0
17 дней 15 часов назад #

a3x2 + x + x 3a