Областная олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс

Пусть $a$, $b$, $c$ — неотрицательные, а $x$, $y$, $z$ — положительные действительные числа такие, что $a+b+c=x+y+z$. Докажите неравенство: $$ \frac{{a^3 }} {{x^2 }} + \frac{{b^3 }} {{y^2 }} + \frac{{c^3 }} {{z^2 }} \geq a + b + c. $$

Комментарий/решение

$\frac{a^3}{x^2}+x+x \ge 3a$

Дополню вышеописанную идею решения автора

$\dfrac{a^3}{x^2}+x+x \geq 3\sqrt{\dfrac{a^3}{x^2} \cdot x^2} = 3a$ по неравенству о средних , аналогично c другими , суммируя

$\dfrac{a^3}{x^2}+\dfrac{b^3}{y^2}+\dfrac{c^3}{z^2} +2x+2y+2z \geq 3(a+b+c)$

учитывая что $a+b+c=x+y+z$ получаем требуемое .

By theorem Cauchy Scwarz in Engel form

$\dfrac{a^3}{x^2} = \dfrac{a^2}{\dfrac{x^2}{a}}$

$\dfrac{x_1^2}{y_1}+\cdots+\dfrac{x_n^2}{y_n} \geq \dfrac{(x_1+\cdots+x_n)^2}{y_1+\cdots+y_n}$

$\dfrac{a^2}{\dfrac{x^2}{a}}+\dfrac{b^2}{\dfrac{y^2}{b}}+\dfrac{c^2}{\dfrac{z^2}{c}} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}}$

$\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c} \geq \dfrac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$

$\dfrac{(a+b+c)^2}{\dfrac{(x+y+z)^2}{a+b+c}} = a + b + c$

Если ты уменьшишь знаменатель, то дробь увеличиться.

Ведь у нас теорема действует на положительные, также так как на неотрицательные (я говорю о правке 2, первая неправильно)

Ты с помощью неравенства на пятой строке уменьшил знаменатель на четвёртой строке.

По неравенсту Гёлдера:$$(\frac {a^3}{x^2}+\frac{b^3}{y^2}+\frac{c^3}{z^2})(x+y+z)(x+y+z)\geq(a+b+c)^3$$

Так как $a+b+c=x+y+z\implies (\frac {a^3}{x^2}+\frac{b^3}{y^2}+\frac{c^3}{z^2})\geq(a+b+c)$

По неравенству Коши $ \frac{a^3}{x^2} + \frac{b^3}{y^2} + \frac{c^3}{z^2} $ = $\frac{\frac{a^4}{x^2}}{a}+\frac{\frac{b^4}{y^2}}{b} + \frac{\frac{c^4}{z^2}}{c}\geq \frac{(\frac{a^2}{x} +\frac{b^2}{y}+ \frac{c^2}{z})^2}{a+b+c}\geq \frac{(\frac{(a+b+c)^2}{x+y+z})^2}{a+b+c} = a+b+c $