Областная олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс

Вычислите значение выражения $$ \left[ {\sqrt {2010^2 + 1} + \sqrt {2010^2 + 2} + \dots + \sqrt {2010^2 + 4020} } \right], $$ где $[x]$ обозначает целую часть числа $x$, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

Комментарий/решение

$2010=n \ \ $ болсын. $1\le k\le 2n \ \ \Rightarrow \ \ n< \sqrt{n^2+k}<n+1$

$\sqrt{n^2+k}=n+a_k$ болсын. Мұндағы $a_k\in (0,1), \ \ k=1,2,3,...,2n$

$n^2+k=(n+a_k)^2 \ \ \Rightarrow \ \ k=2na_k+a_k^2$

$a_k\in (0,1) \ \Rightarrow \ \ a_k>a_k^2>2a_k-1$

$\Rightarrow 2na_k+2a_k-1<k<2na_k+a_k \ \ \Rightarrow \ \ \frac{k}{2n+1}<a_k<\frac{k+1}{2(n+1)}$

$\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{k}{2n+1}<\sum\limits_{k=1}^{2n} a_k< \sum\limits_{k=1}^{2n}\frac{k+1}{2(n+1)}$

$n<\sum\limits_{k=1}^{2n} a_k<\frac{(2n+1)(2n+1)-1}{2(n+1)}<n+1$

$2n^2+n<\sum\limits_{k=1}^{2n} (n+a_k)<2n^2+n+1$

$2n^2+n<\sum\limits_{k=1}^{2n} \sqrt{n^2+k}<2n^2+n+1$

$\left[ \sum\limits_{k=1}^{2n} \sqrt{n^2+k} \right]=2n^2+n$