Областная олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс

Для треугольника $ABC$ с углами $\angle A =2\angle B$ докажите равенство $a^2=b(b+c)$, где $a, b, c$ — длины сторон $BC, CA, AB$ соответственно.

Комментарий/решение

Проведя биссектрису $AL$ получаем подобие треугольников $ABC,ALC$ откуда $ \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{BL}$(1) учитывая теорему о биссектрисе $\dfrac{BL}{a-BL} = \frac{c}{b}$ откуда $BL = \frac{ac}{b+c}$ подставляя в $(1)$ следует $a^2=b(b+c)$.

Пусть $\angle ABC=\alpha$ и $\angle BAC=2 \alpha$. Продолжим $BA$ до точки $F$ так чтобы $AF=AC$. Выходит треугольник $AFC$ равнобедренный и $\angle FAC=180-2\alpha$ $\angle AFC=\alpha$. Выходит $BFC$ тоже равнобедренный и $BC=FC=a$. Также треугольники $FAC и FCB$ подобный по двум углам. Из этого подобия следует что $AF/FC=FC/BF=b/a=a/(b+c)$. Умножаем и получаем $a^{2}=b(b+c)$ .

Должно быть $AF=AC$ и $\angle AFC=\alpha$

Ой. Извиняюсь