Областная олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс

Найдите все целые числа $m$, $n$ удовлетворяющие уравнению $3\cdot 2^m+1=n^2$.

Комментарий/решение

$3 \cdot 2^m+1=n^2$ преобразуем в $3 \cdot 2^m=(n-1)(n+1)$ откуда при $n > 2$ всегда нечетное , также очевидны решения при $n=\pm 2, \pm 5, \pm 7$ соответственно $m=0,\ 3, \ 4$ , покажем что больше решений нет, положим что решения есть при $m>4$ то $3 \cdot 2^m = 4 \cdot a(a+1)$ где $a>3$ имеет смысл рассматривать когда одно из чисел $a,a+1$ делится на 3, иначе решений нет. Положим что $a$ делится на 3, тогда $4 \cdot 3x (3x+1) = 3 \cdot 2^m$ или $x(3x+1)=2^{m-2}$ при $x>1$ и каждый множитель $x, \ 3x+1 < 2^{m-2}$ каждый из них должен делится на $2$ но это невозможно, так как одно из них всегда будет нечетно, противоречие.

Но ты ведь никак не ограничил форму n и m , значит ты должен будешь перебирать бесконечно много раз

Он показал решения при m<5 и показал что других решений нет. Что не так?

Ответы:n=+-7 m=4;n=+-5 m=3;n=+-2 m=0

$3*2^m=n^2-1=(n-1)(n+1)$

Из уравнение понятно что либо $n-1$ делиться на $3$ ,либо $n+1$ делиться на $3$

Рассмотрим эти случаи

1)$n-1=3k$ $\Rightarrow$ $3*2^m=3k(3k+2)$ $\Rightarrow$ $2^m=k(3k+2)$

2)$n+1=3x$ $\Rightarrow$ $3*2^m=3x(3x-2)$ $\Rightarrow$ $2^m=x(3x-2)$

1)$n-1=3k$

Если $2^m$ делиться на $k$ то $k$ также является степеням двойки, также если $2^m$ делиться на $3k+2$ то он также является степеням двойки.

Как мы знаем степень двойки каждый раз удваивается и если $k$ является степеням двойки то следующая степень будет $2k,4k,8k,16k...$ и так далее.

И так если по первому у нас k степень двойки то следующая должна быть $2k$ а следующая степень $4k$,как мы знаем $3k+2$ больше $2k$ значит $3k+2=4k$ $\Rightarrow$ $k=2$

$n-1=3k=6$ $\Rightarrow$ $n=7$ , $m=4$

2)$n+1=3x$

Аналогичная ситуация и в этом случае, $2^m$ делиться на $x$,$2^m$ делиться на $3x-2$.

Также они являются степенями двойки, а если $х$ степень двойки то следующая $2х,4х...$ и т.д.$3х-2$ меньше $4х$ значит $3х-2=2х$ $\Rightarrow$ $х=2$ $\Rightarrow$

$n+1=3x=6$ $\Rightarrow$ $n=5$ , $m=3$

3)Теперь рассмотрим случай когда $n-1=3$ ,$n+1=3$

В первом случае у нас получается что $2^m=5$ что не может быть значит противоречие

Во втором случае у нас получается что $n=2$ ,

$(2-1)(2+1)=3*2^m$ $\Rightarrow$ $3=3*2^m$ $\Rightarrow$ $2^m=1$ это может быть только тогда когда $m=0$ значит $n=2$ , $m=0$

Ответы:n=$\pm$7 m=4;n=$\pm$5 m=3;n=$\pm2$ m=0

$3*2^m=n^2-1=(n-1)(n+1)$

Из уравнение понятно что либо $n-1$ делиться на $3$ ,либо $n+1$ делиться на $3$

Рассмотрим эти случаи

1)$n-1=3k$ $\Rightarrow$ $3*2^m=3k(3k+2)$ $\Rightarrow$ $2^m=k(3k+2)$

2)$n+1=3x$ $\Rightarrow$ $3*2^m=3x(3x-2)$ $\Rightarrow$ $2^m=x(3x-2)$

1)$n-1=3k$

Если $2^m$ делиться на $k$ то $k$ также является степеням двойки, также если $2^m$ делиться на $3k+2$ то он также является степеням двойки.

Как мы знаем степень двойки каждый раз удваивается и если $k$ является степеням двойки то следующая степень будет $2k,4k,8k,16k...$ и так далее.

И так если по первому у нас k степень двойки то следующая должна быть $2k$ а следующая степень $4k$,как мы знаем $3k+2$ больше $2k$ значит $3k+2=4k$ $\Rightarrow$ $k=2$

$n-1=3k=6$ $\Rightarrow$ $n=7$ , $m=4$

2)$n+1=3x$

Аналогичная ситуация и в этом случае, $2^m$ делиться на $x$,$2^m$ делиться на $3x-2$.

Также они являются степенями двойки, а если $х$ степень двойки то следующая $2х,4х...$ и т.д.$3х-2$ меньше $4х$ значит $3х-2=2х$ $\Rightarrow$ $х=2$ $\Rightarrow$

$n+1=3x=6$ $\Rightarrow$ $n=5$ , $m=3$

3)Теперь рассмотрим случай когда $n-1=3$ ,$n+1=3$

В первом случае у нас получается что $2^m=5$ что не может быть значит противоречие

Во втором случае у нас получается что $n=2$ ,

$(2-1)(2+1)=3*2^m$ $\Rightarrow$ $3=3*2^m$ $\Rightarrow$ $2^m=1$ это может быть только тогда когда $m=0$ значит $n=2$ , $m=0$