Областная олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс

Пусть точка $O$ — центр квадрата $ABCD$, а точка $E$ симметрична $O$ относительно точки $C$. Через $P$ обозначим точку пересечения описанной окружности треугольника $BDE$ и отрезка $AO$. Докажите, что $P$ является серединой отрезка $AO$.

Комментарий/решение

Из-за симметрий получаем $OC=CE$ , по свойству хорд $PO \cdot (\dfrac{AC\sqrt{2}}{2} \cdot 2)= (\dfrac{AC\sqrt{2}}{2})^2$, откуда $PO=\dfrac{AC\sqrt{2}}{4}$. То есть $PO=\dfrac{AO}{2}$.

Легко заметить что ОЕ=2ОВ.Треугольник ВDE - равнобедренный. То есть PE диаметр окружности и $\angle$PBE=90$^\circ$. Следовательно $\angle$CBE = $\angle$PBA, $\angle$OPB = $\angle$OBE. То есть $\triangle$OBE подобен $\triangle$OPB. Дальше выводим что BO/PO = OE/OB = 2. Откуда следует что BO/PO = AO/PO = 2.