Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 9 сынып


ABCD квадратының центрі O нүктесі болсын, ал E нүктесі C нүктесіне қатысты O–ға симметриялы. P нүктесі арқылы BDE үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер мен AO кесіндісінің қиылысу нүктесін белгілейік. P нүктесі AO кесіндісінің ортасы екенін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
9 года 2 месяца назад #

Из-за симметрий получаем OC=CE , по свойству хорд PO(AC222)=(AC22)2, откуда PO=AC24. То есть PO=AO2.

  3
6 года 4 месяца назад #

Легко заметить что ОЕ=2ОВ.Треугольник ВDE - равнобедренный. То есть PE диаметр окружности и PBE=90. Следовательно CBE = PBA, OPB = OBE. То есть OBE подобен OPB. Дальше выводим что BO/PO = OE/OB = 2. Откуда следует что BO/PO = AO/PO = 2.