Математикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Математикалық олимпиадаға 45 оқушы қатысты. Қатысушыларға алты есеп ұсынылды. Әр есеп 0-ден 7-ге дейінгі бүтін ұпай санымен бағаланады. Нәтижелердің айырмашылығы 1 ұпайдан аспайтын 3 оқушының табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышы үшін келесі шарт орындалады:

$BC$ кесіндісінде

$AX^2=BX\cdot CX$ теңдігі орындалатындай жалғыз ғана

$X$ нүктесі бар.

$AB+AC=BC \sqrt{2}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(5)

Есеп №3.

$x,$

$y,$

$z$ оң сандары үшін

$2x^2+3y^2+6z^2+12(x+y+z)=108$ теңдігі орындалады.

$x^3 y^2 z$ өрнегінің ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз.
комментарий/решение(18)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышында

$AH$ биіктігі жүргізілген.

$A_1,$

$B_1,$

$C_1$ нүктелері сәйкесінше

$BC,$

$AC,$

$AB$ қабырғаларының орталары.

$K$ нүктесі

$B_1$ нүктесіне

$BC$ түзуіне қатысты симметриялы нүкте.

$C_1K$ түзуінің

$HA_1$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)

Есеп №5. Әрқайсысының кемінде 11 бөлгіші бар

$a$ және

$b$ натурал сандары болсын.

$a$ және

$b$ сандарының бөлгіштерін өсу ретімен жазып, сәйкесінше

$1=a_1 < a_2 < a_3 < \ldots$ және

$1= b_1 < b_2 < b_3 < \ldots$ (шекті) тізбектері алынды. Егер

$a_{10}+b_{10}=a$ және

$a_{11}+b_{11}=b$ екені белгілі болса,

$a$ және

$b$ сандарын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Салмақтары

$m_1,$

$m_2,$

$\ldots,$

$m_n,$ болатын

$n$

$(n \ge 2)$ гір тастары берілген, мұндағы әрбір

$k=1,2,\ldots,n$ үшін

$m_k$ — бүтін сан және

$1 \le m_k\le k$ . Егер

$m_1+m_2+\ldots+m_n$ салмақтардың қосындысы жұп сан болса, осы гір тастарын салмақтарының қосындысы тең болатындай екі топқа бөлуге болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)