Математикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 9 сынып
Комментарий/решение:
Заметим, что в прямоугольном треугольнике ABH медиана C1H, проведенная к гипотенузе, равна половине AB, также как A1B1, поэтому AB1 = C1H. Также понятно, что C1B1∥HA1.
Рассмотрим трапецию, где вершинами являются точки C1,B1,A1,H.
i) Два последних равных отрезка AB1 и C1H могут оказаться боковыми сторонами этой трапеции. Тогда четырехугольник C1B1A1H - равнобокая трапеция (по признаку боковой стороны)
ii) Если отрезки AB1 и C1 являются диагоналями этой трапеции, то четырехугольник C1B1HA1 - равнобокая трапеция (по признаку диагонали)
Так как прямые A1B1 и A1K симметричны относительно BC, то острый угол между прямыми A1K и BC такой же, что и острый угол между прямыми C1H и BC, поэтому C1H∥A1K. В то же время CH=A1=A1K. Следовательно, C1,A1,K,H - вершины параллелограмма, в котором C1K делит HA1 пополам.
Заметим, что B1CKH будет ромбом, т.к. его диагонали HC и B1K перпендикулярны, а также B1K делится пополам прямой BC и HB1=B1C( медиана в прямоугольном треугольнике \triangle AHC).
C1A1-средняя линия=> она равна половине AC=B1C=HK
AC//HK, AC//C1A1=>C1A1//HK, и т.к. A1C1=HK,A1C1//HK=>C1A1KH- параллелограмм, его диагонали делятся пополам, значит, диагональ A1H делится диагональю C1Kпополам, что и требовалось доказать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.