Областная олимпиада по математике, 2020 год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. На олимпиаде по математике приняли участие 45 школьников. Участникам было предложено шесть задач, каждая из которых оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Докажите, что найдутся 3 участника, результаты которых отличаются не более, чем на 1 балл.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Треугольник ABC удовлетворяет следующему условию: на отрезке BC существует единственная точка X такая, что AX2=BX⋅CX. Докажите, что AB+AC=BC√2.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №3. Для положительных действительных чисел x, y, z выполнено равенство 2x2+3y2+6z2+12(x+y+z)=108. Найдите наибольшее возможное значение выражения x3y2z.
комментарий/решение(18)
комментарий/решение(18)
Задача №4. В треугольнике ABC проведена высота AH, а точки A1, B1, C1 — середины сторон BC, AC, AB соответственно. Пусть K — точка, симметричная точке B1 относительно прямой BC. Докажите, что прямая C1K делит отрезок HA1 пополам.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №5. Пусть каждое из натуральных чисел a и b имеют не менее 11 делителей. Выписав делителей a и b в порядке возрастания, соответственно получили (конечные) последовательности 1=a1<a2<a3<… и 1=b1<b2<b3<…. Найдите числа a и b, если известно, что a10+b10=a и a11+b11=b.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Даны n (n≥2) гирь с массами m1, m2, …, mn, где mk — целое число такое, что 1≤mk≤k для всех k=1,2,…,n. Докажите, что если сумма m1+m2+…+mn четна, то данные гири можно разбить на две группы с одинаковой суммарной массой.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)