Областная олимпиада по математике, 2020 год, 9 класс

Для положительных действительных чисел $x,$ $y,$ $z$ выполнено равенство $2x^2+3y^2+6z^2+12(x+y+z)=108.$ Найдите наибольшее возможное значение выражения $x^3 y^2 z.$

Комментарий/решение

$\textbf{Решение:}$

$$2x^2+3y^2+6z^2+12(x+y+z)=108 \Longleftrightarrow $$

$$\Longleftrightarrow108 = \frac{2x^2}{3}+\frac{2x^2}{3}+\frac{2x^2}{3}+\frac{3y^2}{2}+\frac{3y^2}{2}+ 6z^2+6\cdot 2x+4\cdot 3y+2\cdot 6z \geq18\sqrt[18]{\left(\frac{2x^2}{3}\right)^3\cdot \left(\frac{3y^2}{2}\right)^2 \cdot 6z^2\cdot (2x)^6\cdot (3y)^4\cdot (6z)^2} = 18\sqrt[9]{864 x^6y^4z^2}$$

$$\Longleftrightarrow (x^3y^2z)^2\leq 11664 \Longleftrightarrow x^3y^2z\leq 108$$

Причем знак равенства достигается только тогда, когда $ x=3, y=2,z=1.$

$$x^2+9\ge 6x,\ \ y^2+4\ge 4y, \ \ z^2+1\ge 2z \ \ \ \Rightarrow \ \ \ 2x^2+3y^2+6z^2\ge 12(x+y+z) -36\Rightarrow$$

$$108=2x^2+3y^2+6z^2+12(x+y+z)\ge 12(x+y+z)-36+12(x+y+z)$$

$$ x+y+z\le 6 $$

$$6\ge x+y+z=\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+z\ge 6\sqrt[6]{\frac{x}{3}\cdot \frac{x}{3}\cdot \frac{x}{3}\cdot \frac{y}{2}\cdot \frac{y}{2}\cdot z} $$

$$6\ge 6\sqrt[6]{\frac{x^3y^2z}{108}}\Rightarrow x^3y^2z\le 108$$

Теңдік $x=3, y=2, z=1$ жағдайында орындалады.

Хорошее решение

Заметим, что равенство в условии можно переписать как $$2(x+3)^2+3(y+2)^2+6(z+1)^3=144$$

По неравенство между средним имеем: $2(x+3)^2\ge 2(2\sqrt{3x})^2 = 24x;$ $3(y+2)^2\ge 3(2\sqrt{2y})^2 = 24y;$ $6(z+1)^2\ge6(2\sqrt{z})^2=24z.$ Причем равенства достигаются при $x=3,y=2,z=1.$ Сложив все неравенства получим: $$144\ge24x+24y+24z\Longrightarrow x+y+z\le6$$

Также по неравенству между средними:$$6\ge x+y+z=\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+z \ge 6\sqrt \frac {x^3y^2z}{27*4}$$

Следовательно $108\ge x^3y^2z.$ Равенство достижимо при $x=3,y=2,z=1$

Правая часть уравнения делится на 3. Следовательно $x$ делится на 3. Тогда пусть $x$=3$a$. Точно также $y$=2$a$.

18$a^{2}$+12$b^{2}$+6$z^{2}$+12(3$a$+2$b$+$z$)=108. Сократим на 6.

3$a^{2}$+2$b^{2}$+$z^{2}$+6$a$+4$b$+2$z$=18. По $AM$≥$GM$ получаем:

18≥18${\displaystyle {18\sqrt {\quad a^{12}b^{8}z^{4}}}}$

1≥$a^{3}b^{2}z$

108≥$x^{3}y^{2}z^{2}$

Равенство достигается при $x$=3 $y$=2 $z$=1

y=2b

почему $mod$ $5$ не заюзал?

Mopsichek, что с тобой не так? Мод 5 же нечего не даёт, а мод 4 это уже хорошая идея

Лучше было сказать, что удобно будет взять $x=3a, y=2b,$ поскольку после подставления коэффициенты сокращаются на 6.

Что ты такой серьёзный? Как мы порофлил бы над ним

В реальности он еще серьезнее

А ты с ним вместе учишься/учился?

Так это же акк Сатылханова

так и поверили)

Есть доказательство? мне кажется у Канат агая нет времени на такое

Когда я был мелким, я никогда не понимал как другие так легко и быстро решали эту задачу. Для меня казалось, что просто угадать переменные это ведь нереально, может поэтому задача стоит на третьем месте? НО, нет, и я сейчас попробую объяснить, почему это довольно простенькая задача, которая требует несколько базовых вещей о которых я вам расскажу.

Сперва, наверное очевидно, что скорее всего эту задачу можно буквально съесть через $\text{AM} \geq \text{GM}$, ибо она выглядит довольно простой. Но как бы нам догадаться как его использовать?

Дам вам задачу на проверку: $a \geq 3$, найдите минимум выражения $$S=a+\frac{1}{a}.$$

Наверняка вы подумали, что можно напрямую применить $\text{AM} \geq \text{GM}$ и выявить ответ 2, осталось лишь найти пример, верно? Нет, если подумать побольше, можно понять, что функция выглядит растущей, и скорее всего минимум выполняется при $a=3$, а это значит, нам категорически запрещается использовать $\text{AM} \geq \text{GM}$ для $a+ \frac{1}{a}$. Почему?

Хорошо, скажем мы использовали это неравенство сразу, даже может нашли и ответ (минимум), но почему это не имеет смысл? Заметим, что в $\text{AM} \geq \text{GM}$ равенство происходит тогда, когда $a_1=a_2=...=a_n$, то есть, чтобы это неравенство $a+ \frac{1}{a} \geq 2.$ превратилось в равенсвто, нужно $a=\frac{1}{a}$, то есть $a=-1,1$, то есть, чтобы использовать $\text{AM} \geq \text{GM}$, мы должны быть уверены, что равенство произойдёт при данных условиях.

Как это связано с нашей задачей?

Сперва, можно догадаться, что $x=3,y=2,z=1$ подходит под первое условие, а это значит, что мы можем доказать, что $x^3y^2z \leq 108$ (как минимум, это более очевидно, нежели догадываться из пустого места о полном решении сверху).

То есть, какой бы $\text{AM} \geq \text{GM}$ мы не использовали, равенство в нём должно происходить ВСЕГДА при этих значениях $x=3,y=2,z=1$. То есть мы не можем использовать $\text{AM} \geq \text{GM}$ для $x+y+y$, ибо там $x=3,y=2$ -- не равны.

Давайте попробуем доказать, что $2x^2+3y^2+6z^2+12x+12y+12z \geq x^3y^2z$.

Можем примерно сделать огромный $\text{AM} \geq \text{GM}$ из всех чисел слева, но сразу его делать конечно же не стоит (там тупо члены будут разными при случае равенства). Сперва посмотрим на эти члены при $x=3,y=2,z=1$: $$18 +12+6+36+24+12$$, можем увидеть, что они все делятся на 6 (даже тут ТЧ пригодилась), значит можем распределить их, то есть $$ \frac{2x^2}{3}+\frac{2x^2}{3}+\frac{2x^2}{3}+\frac{3y^2}{2}+\frac{3y^2}{2}+6z^2+\frac{12x}{6}+\frac{12x}{6}+\frac{12x}{6}+\frac{12x}{6}+\frac{12x}{6}+\frac{12x}{6}+\frac{12y}{4}+\frac{12y}{4}+\frac{12y}{4}+\frac{12y}{4}+\frac{12z}{2}+\frac{12z}{2}$$

$$\frac{2x^2}{3}+\frac{2x^2}{3}+\frac{2x^2}{3}+\frac{3y^2}{2}+\frac{3y^2}{2}+6z^2+2x+2x+2x+2x+2x+2x+3y+3y+3y+3y+6z+6z. $$

И тупо для этой суммы уже сможем сделать $\text{AM} \geq \text{GM}$, продолжение смотрите в решениях сверху.

Довольно подробное и хорошее объяснения логики решения и нахождения коэффициентов