Областная олимпиада по математике, 2020 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Решение:
2x2+3y2+6z2+12(x+y+z)=108⟺
⟺108=2x23+2x23+2x23+3y22+3y22+6z2+6⋅2x+4⋅3y+2⋅6z≥1818√(2x23)3⋅(3y22)2⋅6z2⋅(2x)6⋅(3y)4⋅(6z)2=189√864x6y4z2
⟺(x3y2z)2≤11664⟺x3y2z≤108
Причем знак равенства достигается только тогда, когда x=3,y=2,z=1.
Заметим, что равенство в условии можно переписать как 2(x+3)2+3(y+2)2+6(z+1)3=144
По неравенство между средним имеем: 2(x+3)2≥2(2√3x)2=24x; 3(y+2)2≥3(2√2y)2=24y; 6(z+1)2≥6(2√z)2=24z. Причем равенства достигаются при x=3,y=2,z=1. Сложив все неравенства получим: 144≥24x+24y+24z⟹x+y+z≤6
Также по неравенству между средними:6≥x+y+z=x3+x3+x3+y2+y2+z≥6√x3y2z27∗4
Следовательно 108≥x3y2z. Равенство достижимо при x=3,y=2,z=1
Когда я был мелким, я никогда не понимал как другие так легко и быстро решали эту задачу. Для меня казалось, что просто угадать переменные это ведь нереально, может поэтому задача стоит на третьем месте? НО, нет, и я сейчас попробую объяснить, почему это довольно простенькая задача, которая требует несколько базовых вещей о которых я вам расскажу.
Сперва, наверное очевидно, что скорее всего эту задачу можно буквально съесть через AM≥GM, ибо она выглядит довольно простой. Но как бы нам догадаться как его использовать?
Дам вам задачу на проверку: a≥3, найдите минимум выражения S=a+1a.
Наверняка вы подумали, что можно напрямую применить AM≥GM и выявить ответ 2, осталось лишь найти пример, верно? Нет, если подумать побольше, можно понять, что функция выглядит растущей, и скорее всего минимум выполняется при a=3, а это значит, нам категорически запрещается использовать AM≥GM для a+1a. Почему?
Хорошо, скажем мы использовали это неравенство сразу, даже может нашли и ответ (минимум), но почему это не имеет смысл? Заметим, что в AM≥GM равенство происходит тогда, когда a1=a2=...=an, то есть, чтобы это неравенство a+1a≥2. превратилось в равенсвто, нужно a=1a, то есть a=−1,1, то есть, чтобы использовать AM≥GM, мы должны быть уверены, что равенство произойдёт при данных условиях.
Как это связано с нашей задачей?
Сперва, можно догадаться, что x=3,y=2,z=1 подходит под первое условие, а это значит, что мы можем доказать, что x3y2z≤108 (как минимум, это более очевидно, нежели догадываться из пустого места о полном решении сверху).
То есть, какой бы AM≥GM мы не использовали, равенство в нём должно происходить ВСЕГДА при этих значениях x=3,y=2,z=1. То есть мы не можем использовать AM≥GM для x+y+y, ибо там x=3,y=2 -- не равны.
Давайте попробуем доказать, что 2x2+3y2+6z2+12x+12y+12z≥x3y2z.
Можем примерно сделать огромный AM≥GM из всех чисел слева, но сразу его делать конечно же не стоит (там тупо члены будут разными при случае равенства). Сперва посмотрим на эти члены при x=3,y=2,z=1: 18+12+6+36+24+12, можем увидеть, что они все делятся на 6 (даже тут ТЧ пригодилась), значит можем распределить их, то есть 2x23+2x23+2x23+3y22+3y22+6z2+12x6+12x6+12x6+12x6+12x6+12x6+12y4+12y4+12y4+12y4+12z2+12z2
2x23+2x23+2x23+3y22+3y22+6z2+2x+2x+2x+2x+2x+2x+3y+3y+3y+3y+6z+6z.
И тупо для этой суммы уже сможем сделать AM≥GM, продолжение смотрите в решениях сверху.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.