Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2020 год, 9 класс


Для положительных действительных чисел x, y, z выполнено равенство 2x2+3y2+6z2+12(x+y+z)=108. Найдите наибольшее возможное значение выражения x3y2z.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
5 года 2 месяца назад #

Решение:

2x2+3y2+6z2+12(x+y+z)=108

108=2x23+2x23+2x23+3y22+3y22+6z2+62x+43y+26z1818(2x23)3(3y22)26z2(2x)6(3y)4(6z)2=189864x6y4z2

(x3y2z)211664x3y2z108

Причем знак равенства достигается только тогда, когда x=3,y=2,z=1.

  4
5 года 2 месяца назад #

x2+96x,  y2+44y,  z2+12z      2x2+3y2+6z212(x+y+z)36

108=2x2+3y2+6z2+12(x+y+z)12(x+y+z)36+12(x+y+z)

x+y+z6

6x+y+z=x3+x3+x3+y2+y2+z66x3x3x3y2y2z

666x3y2z108x3y2z108

Теңдік x=3,y=2,z=1 жағдайында орындалады.

пред. Правка 3   0
5 года 1 месяца назад #

Хорошее решение

пред. Правка 2   1
5 года назад #

Заметим, что равенство в условии можно переписать как 2(x+3)2+3(y+2)2+6(z+1)3=144

По неравенство между средним имеем: 2(x+3)22(23x)2=24x; 3(y+2)23(22y)2=24y; 6(z+1)26(2z)2=24z. Причем равенства достигаются при x=3,y=2,z=1. Сложив все неравенства получим: 14424x+24y+24zx+y+z6

Также по неравенству между средними:6x+y+z=x3+x3+x3+y2+y2+z6x3y2z274

Следовательно 108x3y2z. Равенство достижимо при x=3,y=2,z=1

  5
3 года 1 месяца назад #

Правая часть уравнения делится на 3. Следовательно x делится на 3. Тогда пусть x=3a. Точно также y=2a.

18a2+12b2+6z2+12(3a+2b+z)=108. Сократим на 6.

3a2+2b2+z2+6a+4b+2z=18. По AMGM получаем:

18≥1818a12b8z4

1≥a3b2z

108≥x3y2z2

Равенство достигается при x=3 y=2 z=1

  1
3 года 1 месяца назад #

y=2b

пред. Правка 2   2
3 года 1 месяца назад #

почему mod 5 не заюзал?

  1
3 года 1 месяца назад #

Mopsichek, что с тобой не так? Мод 5 же нечего не даёт, а мод 4 это уже хорошая идея

  4
3 года 1 месяца назад #

Лучше было сказать, что удобно будет взять x=3a,y=2b, поскольку после подставления коэффициенты сокращаются на 6.

  0
3 года 1 месяца назад #

Что ты такой серьёзный? Как мы порофлил бы над ним

  0
3 года назад #

В реальности он еще серьезнее

  0
3 года назад #

А ты с ним вместе учишься/учился?

  0
3 года назад #

Так это же акк Сатылханова

  0
3 года назад #

так и поверили)

  0
3 года назад #

Есть доказательство? мне кажется у Канат агая нет времени на такое

  4
6 месяца 7 дней назад #

Когда я был мелким, я никогда не понимал как другие так легко и быстро решали эту задачу. Для меня казалось, что просто угадать переменные это ведь нереально, может поэтому задача стоит на третьем месте? НО, нет, и я сейчас попробую объяснить, почему это довольно простенькая задача, которая требует несколько базовых вещей о которых я вам расскажу.

Сперва, наверное очевидно, что скорее всего эту задачу можно буквально съесть через AMGM, ибо она выглядит довольно простой. Но как бы нам догадаться как его использовать?

Дам вам задачу на проверку: a3, найдите минимум выражения S=a+1a.

Наверняка вы подумали, что можно напрямую применить AMGM и выявить ответ 2, осталось лишь найти пример, верно? Нет, если подумать побольше, можно понять, что функция выглядит растущей, и скорее всего минимум выполняется при a=3, а это значит, нам категорически запрещается использовать AMGM для a+1a. Почему?

Хорошо, скажем мы использовали это неравенство сразу, даже может нашли и ответ (минимум), но почему это не имеет смысл? Заметим, что в AMGM равенство происходит тогда, когда a1=a2=...=an, то есть, чтобы это неравенство a+1a2. превратилось в равенсвто, нужно a=1a, то есть a=1,1, то есть, чтобы использовать AMGM, мы должны быть уверены, что равенство произойдёт при данных условиях.

  4
6 месяца 7 дней назад #

Как это связано с нашей задачей?

Сперва, можно догадаться, что x=3,y=2,z=1 подходит под первое условие, а это значит, что мы можем доказать, что x3y2z108 (как минимум, это более очевидно, нежели догадываться из пустого места о полном решении сверху).

То есть, какой бы AMGM мы не использовали, равенство в нём должно происходить ВСЕГДА при этих значениях x=3,y=2,z=1. То есть мы не можем использовать AMGM для x+y+y, ибо там x=3,y=2 -- не равны.

Давайте попробуем доказать, что 2x2+3y2+6z2+12x+12y+12zx3y2z.

Можем примерно сделать огромный AMGM из всех чисел слева, но сразу его делать конечно же не стоит (там тупо члены будут разными при случае равенства). Сперва посмотрим на эти члены при x=3,y=2,z=1: 18+12+6+36+24+12, можем увидеть, что они все делятся на 6 (даже тут ТЧ пригодилась), значит можем распределить их, то есть 2x23+2x23+2x23+3y22+3y22+6z2+12x6+12x6+12x6+12x6+12x6+12x6+12y4+12y4+12y4+12y4+12z2+12z2

2x23+2x23+2x23+3y22+3y22+6z2+2x+2x+2x+2x+2x+2x+3y+3y+3y+3y+6z+6z.

И тупо для этой суммы уже сможем сделать AMGM, продолжение смотрите в решениях сверху.

  2
6 месяца 3 дней назад #

Довольно подробное и хорошее объяснения логики решения и нахождения коэффициентов