Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 9 сынып


ABC үшбұрышы үшін келесі шарт орындалады: BC кесіндісінде AX2=BXCX теңдігі орындалатындай жалғыз ғана X нүктесі бар. AB+AC=BC2 екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   0
5 года 1 месяца назад #

Сначала проведем прямую AX до пересечения с описанной окружностью в точке Y. Тогда BXXC=AXXY и BXXC=AX2. Следовательно AX2=AXXYAX=XY

Теперь предположим что AX не биссектриса BAC. Проведем через точку Y прямую параллельную BC до пересечения с описанной окружностью в точке Y1. Пусть AY1 пересекает BC в точке X1.

Так как XX1YY1 и X середина AY1, получаем, что XX1 - серединная линия AYY1. Значит, кроме X на отрезке BC можно найти и ещё одну точку, удовлетворяющую условию, что противоречит условию. Следовательно, AX - биссектриса BAC

Заметим, что YCX=YAB=YAC и CYX=AYC. Следовательно, YCX подобен треугольнику YACYC2=YCYA=AX2AX=2AX2. Но YC=YBYC2=YB2=2AX2. И, наконец, используя теорему Птолемея получаем: ABYC+ACYB=AYBCYC(AB+AC)=2AXBC2AX(AB+BC)=2AXBCAB+BC=2BC

  1
5 года 2 месяца назад #

Вы рассмотрели частный случай. А если вдруг найдётся треугольник, удовлетворяющий условию, но не прямоугольный? Изменится ли доказательство тогда?

пред. Правка 2   0
5 года 1 месяца назад #

  1
3 года назад #

Если YC=YX то углы YCX=YXC а это противоречит твоему же слову, решению.

YCX подобен треугольнику △YACYC2=YCYA=AX2AX=2AX2

  2
1 года 4 месяца назад #

Сделаем гомотетию в точке A с коэффициентом 2. Тогда назовем BC образом BC после такой гомотетии. Заметим, что обе точки B,C лежат вне окружности (ABC) и то, что X переходит в точку A такую, что AXXA=BXXC. Поэтому A лежит на окружности (ABC), однако по условию такая точка единственная, то есть BC касается (ABC).

BA=BBBA=AB2,CA=CCCA=AC22BC=AB2+AC2,AB+AC=BC2.