Математикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 9 сынып
Комментарий/решение:
Сначала проведем прямую AX до пересечения с описанной окружностью в точке Y. Тогда BX∗XC=AX∗XY и BX∗XC=AX2. Следовательно AX2=AX∗XY⟹AX=XY
Теперь предположим что AX не биссектриса ∠BAC. Проведем через точку Y прямую параллельную BC до пересечения с описанной окружностью в точке Y1. Пусть AY1 пересекает BC в точке X1.
Так как XX1∥YY1 и X середина AY1, получаем, что XX1 - серединная линия △AYY1. Значит, кроме X на отрезке BC можно найти и ещё одну точку, удовлетворяющую условию, что противоречит условию. Следовательно, AX - биссектриса ∠BAC
Заметим, что ∠YCX=∠YAB=∠YAC и ∠CYX=∠AYC. Следовательно, △YCX подобен треугольнику △YAC⟹YC2=YC∗YA=AX∗2AX=2AX2. Но YC=YB⟹YC2=YB2=2AX2. И, наконец, используя теорему Птолемея получаем: AB∗YC+AC∗YB=AY∗BC⟹YC(AB+AC)=2AX∗BC⟹√2∗AX(AB+BC)=2AX∗BC⟹AB+BC=√2∗BC
Сделаем гомотетию в точке A с коэффициентом 2. Тогда назовем B′C′ образом BC после такой гомотетии. Заметим, что обе точки B′,C′ лежат вне окружности (ABC) и то, что X переходит в точку A′ такую, что AX∗XA′=BX∗XC. Поэтому A′ лежит на окружности (ABC), однако по условию такая точка единственная, то есть B′C′ касается (ABC).
B′A′=√B′B∗B′A=AB√2,C′A′=√C′C∗C′A=AC√2⇒2BC=AB√2+AC√2,AB+AC=BC√2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.