Областная олимпиада по математике, 2020 год, 9 класс
Пусть каждое из натуральных чисел a и b имеют не менее 11 делителей. Выписав делителей a и b в порядке возрастания, соответственно получили (конечные) последовательности 1=a1<a2<a3<… и 1=b1<b2<b3<…. Найдите числа a и b, если известно, что a10+b10=a и a11+b11=b.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Из условия b=a11+b11>b1 следует, что b≥2b11 (1)
Аналогично a≥2a10. Откуда b10=a−a10≥a10. Значит 2b11>2b10≥b10+a10=a≥a11, (2)
следовательно 3b11>b11+a11=b. (3)
Из (1) и (3) получаем, что b=2b11 и b11=a11. Используя (2) получаем, что a<2b11=2a11, откуда a=a11. Значит у числа a ровно 11 делителей, а это возможно только a=p10 для некоторого простого числа p.b=2b11, то есть у числа b ровно 12 делителей, что возможно только при p=2 (при p≠, у числа b=2b11=2p10 будет 22 делителя). Легко проверить, что числа a=210,b=211 удовлетворяют условию задачи.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.