Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2020 год, 9 класс


Пусть каждое из натуральных чисел a и b имеют не менее 11 делителей. Выписав делителей a и b в порядке возрастания, соответственно получили (конечные) последовательности 1=a1<a2<a3< и 1=b1<b2<b3<. Найдите числа a и b, если известно, что a10+b10=a и a11+b11=b.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   -1
5 года 1 месяца назад #

Из условия b=a11+b11>b1 следует, что b2b11 (1)

Аналогично a2a10. Откуда b10=aa10a10. Значит 2b11>2b10b10+a10=aa11, (2)

следовательно 3b11>b11+a11=b. (3)

Из (1) и (3) получаем, что b=2b11 и b11=a11. Используя (2) получаем, что a<2b11=2a11, откуда a=a11. Значит у числа a ровно 11 делителей, а это возможно только a=p10 для некоторого простого числа p.b=2b11, то есть у числа b ровно 12 делителей, что возможно только при p=2 (при p, у числа b=2b11=2p10 будет 22 делителя). Легко проверить, что числа a=210,b=211 удовлетворяют условию задачи.