Областная олимпиада по математике, 2020 год, 9 класс

На олимпиаде по математике приняли участие 45 школьников. Участникам было предложено шесть задач, каждая из которых оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Докажите, что найдутся 3 участника, результаты которых отличаются не более, чем на 1 балл.

Комментарий/решение

Давайте решать задачу от противного, пусть не нашлась такая тройка участников.Из условия задачи следует, что одинаковый балл получили не более 2 участников, тогда мы можем считать тогда мы можем считать что ненулевые баллы набрали не менее 43 человек.Разделим всевозможные баллы на пары: (1 балл, 2 балла);(3 балла, 4 балла);......;(41 балл, 42 балла).Тогда всего пар 21,а участников получивших эти баллы не менее 43, откуда применяя принцип Дирихле, получаем что какие-то 3 участника получили баллы из одной пары баллов. Остается заметить, что это и есть требуемые 3 участника, противоречие. Значит при любом распределении баллов, найдутся требуемые 3 участника.

Разделим школьников на группы $(0),(1,2),(2,3),...,(41,42)$ по количествам баллов которые они набрали. К примеру,$(3,4)$ означает группу всех школьников с баллами равными $3$ или $4$. Заметим, что во всех таких группах результаты отличаются не более, чем на $1$. Всего таких групп $22$. А раз школьников $45,$ то по принципу Дирихле найдется группа в которой будет хотя бы $[\frac{45}{22}] + 1 = 3 $ ученика, что и требовалось доказать.

Самый минимальный бал это 0 а максимальный это 42.Допустим это не верно и максимум у 2 людей бал отличается не более чем на 1.Среди 0 и 42 у нас 43 чисел значит возможное количество оценок , так как у нас только у двоих оценки отличаются на 1 или 0 значит количество оценок 43>$X$ ($X$ это количество оценок ) значит противоречие потому что людей у нас 45 значит найдутся 3 или больше людей у которых оценки отличаются на не более 1-го.