Математикадан аудандық олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгіші 1-ге тең бүтін коэффициентті көпмүше жақсы деп аталады. Жақсы көпмүшелердің көбейтіндісі тағы да жақсы көпмүше болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышында

$H$ — ортоцентр, ал

$D$ және

$E$ нүктелері — сәйкесінше

$B$ және

$C$ төбелерінен түсірілген биіктіктердің табандары. Диаметрі

$DE$ болатын шеңбер

$AB$ және

$AC$ қабырғаларын тағы бір рет сәйкесінше

$F$ және

$G$ нүктелерінде қияды.

$FG$ және

$AH$ кесінділері

$K$ нүктесінде қиылысады. Егер

$BC=25,$

$BD=20$ және

$BE=7$ болса,

$AK$ кесіндісінің ұзындығын табыңыз.
комментарий/решение(5)

Есеп №3.

$x^2+y^2+z^2=2019$ теңдеуінің барлық натурал сан шешімдерін табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышының ішінен

$P$ нүктесі таңдап алынған. Егер

$APB,$

$BPC,$

$CPA$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің радиустары өзара тең болса,

$P$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышының ортоцентрі екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$\{a_i \}$ сандар тізбегі былайша анықталған:

$a_0=0$ және

$n=0,1,2,\ldots$ үшін

$a_{n+1}=1010a_n+\sqrt{(1010^2-1)a_n^2+1}.$ Тізбектің әрбір мүшесі бүтін сан екенін және оның жұп нөмірлі мүшелерінің әрқайсысы 2020-ға бөлінетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Өлшемі

$16\times 16$ тіктөртбұрыш кесте 0 мен 1 сандарымен толтырылған. Кез келген екі баған алсақ, осы бағандардан тең элементтер жазылған қатарлардың саны 9-дан кем. Кестедегі 0-дердің саны 160-тан аспайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение