Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 10 класс

Последовательность $\{a_i\}$ определена следующим образом: $a_0=0$ и $a_{n+1}=1010a_n+\sqrt{(1010^2-1)a_n^2+1}$, для $n=0,1,2,\ldots.$ Докажите, что каждый член последовательности является целым числом и ее все члены с четными номерами делятся на 2020.

Комментарий/решение

Заметим, что $a_{n+1}^2+a_n^2-2020a_na_{n+1}=0$, и в то же время $a_n^2+a_{n-1}^2-2020a_{n-1}a_n=0$. То есть, квадратное уравнение $x^2-x*2020a_n+a_n^2=0$ имеет корни $(a_{n-1},a_{n+1})$ и по теореме Виета получаем $a_{n-1}+a_{n+1}=2020a_n$

$a_0=0$, следовательно $a_1=1$, $a_2=1010+\sqrt{1010^2}=1010+1010=2020$. Пусть $a_1,a_2,...,a_k$ - целые числа для какого-то $k$.

Тогда $a_{k-1}+a_{k+1}=2020a_k$ и так как $a_{k-1}$ и $a_k$ - целые, то $a_{k+1}$ - тоже целое число. Остается заметить, что если $a_k$ делится на $2020$, то, так как $a_{k+2}=2020a_{k+1}-a_k$, $a_{k+2}$ тоже делится на $2020$, следовательно, т.к. $a_0$ делится, то и $a_{2k}$ - тоже делится.