қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Многочлен с целыми коэффициентами называется хорошим, если наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1. Докажите, что произведение двух хороших многочленов снова является хорошим многочленом.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. $H$ — ортоцентр остроугольного треугольника $ABC,$ точки $D$ и $E$ — основания высот, проведенных соответственно из вершин $B$ и $C$. Окружность с диаметром $DE$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ еще раз соответственно в точках $F$ и $G.$ Отрезки $FG$ и $AH$ пересекаются в точке $K.$ Если $BC = 25,$ $BD = 20$ и $BE = 7,$ то найдите длину отрезка $AK.$
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №3. Найдите все решения уравнения $x^2+y^2+z^2=2019$ в натуральных числах.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $P$. Докажите, что если радиусы окружностей, описанных около треугольников $PAB$, $PBC$, $PCA$, равны, то точка $P$ — ортоцентр треугольника $ABC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Последовательность $\{a_i\}$ определена следующим образом: $a_0=0$ и $a_{n+1}=1010a_n+\sqrt{(1010^2-1)a_n^2+1}$, для $n=0,1,2,\ldots.$ Докажите, что каждый член последовательности является целым числом и ее все члены с четными номерами делятся на 2020.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Прямоугольная таблица $16 \times 16$ заполнена числами 0 и 1. Если выбрать любые два столбца, то количество совпадений их чисел, написанных на одинаковых строках, меньше 9. Докажите, что количество 0-ей в таблице не превосходит 160.
комментарий/решение
комментарий/решение