Processing math: 100%

Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 10 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  Многочлен с целыми коэффициентами называется хорошим, если наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1. Докажите, что произведение двух хороших многочленов снова является хорошим многочленом.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  H — ортоцентр остроугольного треугольника ABC, точки D и E — основания высот, проведенных соответственно из вершин B и C. Окружность с диаметром DE пересекает стороны AB и AC еще раз соответственно в точках F и G. Отрезки FG и AH пересекаются в точке K. Если BC=25, BD=20 и BE=7, то найдите длину отрезка AK.
комментарий/решение(5)
Задача №3.  Найдите все решения уравнения x2+y2+z2=2019 в натуральных числах.
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Внутри треугольника ABC выбрана точка P. Докажите, что если радиусы окружностей, описанных около треугольников PAB, PBC, PCA, равны, то точка P — ортоцентр треугольника ABC.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Последовательность {ai} определена следующим образом: a0=0 и an+1=1010an+(101021)a2n+1, для n=0,1,2,. Докажите, что каждый член последовательности является целым числом и ее все члены с четными номерами делятся на 2020.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Прямоугольная таблица 16×16 заполнена числами 0 и 1. Если выбрать любые два столбца, то количество совпадений их чисел, написанных на одинаковых строках, меньше 9. Докажите, что количество 0-ей в таблице не превосходит 160.
комментарий/решение