Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 10 класс

Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $P$. Докажите, что если радиусы окружностей, описанных около треугольников $PAB$, $PBC$, $PCA$, равны, то точка $P$ — ортоцентр треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Админы, обратите внимание, не получается загрузить рисунок (выдает ошибку "could not execute statement; SQL [n/a]; constraint [null]; nested exception is org.hibernate.exception.ConstraintViolationException: could not execute statement")

Решение

1) Пусть $AN=NP; PM = MB; PL = PC$

2) Введем прямые $l_1,l_2,l_3$ :

$$l_1\bot AP;l_1\cap AP = N$$

$$l_2\bot PB;l_1\cap PB = M$$

$$l_3\bot PC;l_1\cap PC = L$$

3) Введем точки $D,E,F$:

$$l_1\cap l_2 = F;\;\;l_2\cap l_3 = E;\;\;l_1\cap l_3 = D$$

4) Заметим, что

$LD,ND -$ серединные перпендикуляры $\Delta PCA$

$LE,ME -$ серединные перпендикуляры $\Delta PBC$

$NF,MF -$ серединные перпендикуляры $\Delta PAB$

Серединные из-за $[1]$, перпендикуляры из-за $[2,3]$

5) Теорема: Центр описанной окружности находится на пересечении серединных перпендикуляров треугольника $\Rightarrow D,E,F -$ центры описанных окружностей треугольников $\Delta PCA,\Delta PBC,\Delta PAB$ соответственно.

6) По условию $R_{\Delta PCA} = R_{\Delta PBC} = R_{\Delta PAB}=R\Rightarrow$

$$DC=DA=DP=EC=EB=EP=FB=FP=FA=R$$

7) Определение: Ромб - четырехугольник, у которого все стороны равны $\Rightarrow DAFP, FPEB, DPEC -$ ромбы

8) Теорема: У ромба противоположные стороны параллельны $\Rightarrow AD\parallel PF \parallel EB$

9) Теорема: Если у четырехугольника две противолежащие стороны параллельны и равны, то такой четырехугольник является параллелограммом $\Rightarrow ADEB -$ параллелограмм (в силу того, что $AD=EB=R\;\;[6]\;\;;AD\parallel EB\;\;\;[8]$)

10) С одной стороны, $PC\bot DE\;\;\;[2]$. С другой стороны, $DE\parallel AB\;\;[9]$. Отсюда $PC\bot AB$, то есть, высота $\Delta ABC$, отпущенная из точки $C$, проходит через точку $P$. Остается показать, что через точку $P$ проходит еще какая-нибудь высота (опущенная из точки $A$ или $B$).

11) $DCBF -$ параллелограмм (ведь $DC = BF; DC\parallel PE\parallel BF$)

12) С одной стороны, $PA\bot DF\;\;\;[2]$. С другой стороны, $DF\parallel BC\;\;[11]$. Отсюда $PA\bot BC$, то есть, высота $\Delta ABC$, отпущенная из точки $A$, проходит через точку $P$. Откуда следует , что $P-$ точка пересечения высот, то есть ортоцентр