Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 10 класс

Многочлен с целыми коэффициентами называется хорошим, если наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1. Докажите, что произведение двух хороших многочленов снова является хорошим многочленом.

Комментарий/решение

Предположим , что мы перемножили два многочлена. В ходе умножения мы получим произведения двух простых чисел в виде новых коэффициентов(простые числа не равные между собой - все коэффициенты хорошего многочлена т.к. НОД у них всегда будет единица ). коэффициенты , которые мы получим в результате перемножения многочленов будут делится только на старые коэффициенты(тоже простые числа). Из выше сказанного следует , что новый многочлены будет хорошим только в том случае , когда все коэффициенты е будут иметь общих делителей , а они в свои очередь их иметь и не будут т.к. их делители - это простые и в добавок разные числа .(лишь часть коэффициентов будут иметь общий делитель с одним число , другая часть с другим число и т.д. , но ОБЩЕГО делителя они кроме 1 иметь не будут) Для наглядности приведу пример: https://yapx.ru/u/Pdef5 или https://imgur.com/a/wqnEBgO (ссылки на одно и тоже )