Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 10 класс
Комментарий/решение:
Задача классная, мне понравилось, что решается простыми теоремами
Ответ: AK=8.64
Решение
1) ΔBEC− прямоугольный, так как CE− высота ΔABC. По теореме Пифагора
EC=√BC2−BE2=√252−72=24
2) ΔBDC− прямоугольный, так как BD− высота ΔABC. По теореме Пифагора
DC=√BC2−BD2=√252−202=15
3) ΔEHB подобен ΔDHC по трем углам
Ведь ∠EHB=∠DHC как вертикальные
∠BEH=∠HDC=90∘
∠EBH=180∘−(∠BEH+∠EHB)
∠HCD=180∘−(∠HDC+∠DHC)→∠HCD=∠EBH
4) Из подобия ΔEHB∞ΔDHC имеем
EHDH=EBDC=BHCH
5) EB=7 (по условию) ; DC=15[см.пункт3]
Обозначим EH=x;BH=y, тогда
CH=EC−EH=24−x;DH=BD−BH=20−y
6) Из [4] и [5] получаем уравнения
x20−y=715;715=y24−x
Решим совместно эти уравнения. Получим x=5.25;y=8.75
7) Из [6] : EH=5.25;BH=8.75;
CH=24−5.25=18.75;DH=20−8.75=11.25
8) AEEC=tan∠ECA=DHDC
AE=EC⋅DHDC=24⋅11.2515=18
9) AB=AE+BE=18+7=25=BC⇒ΔABC− равнобедренный
10) По теореме Пифагора
AD=√AB2−BD2=√252−202=15
11) По теореме косинусов:
ED2=AD2+AE2−2⋅AD⋅AE⋅cos∠EAD
cos∠EAD=AEAC=1830
ED2=152+182−2⋅18⋅15⋅1830=152→ED=15
12) ∠EFD=∠EGD=⌢ED2=180∘2 (прямые углы как опирающиеся на диаметр)
13) Из [11]:ED=15; Из [10]:AD=15→ΔEAD− равнобедренный
14) AF=FE=9. Ведь ∠EFD− прямой [12], то есть DF− высота для ΔEAD, а он равнобедренный [13]. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой.
15) ΔAGE∞ΔADB (по трем углам). Из подобия треугольников:
AGAE=ADAB⇒AG=AE⋅ADAB=18⋅1525=10.8
16) Покажем подобие ΔFAG и ΔBAC.
AFAG=910.8=ABAC=2530=0.8(3)⇒ΔFAG∞ΔBAC
17) Из [16]:∠FGA=∠BCA
18) Из [21]:FG∥BC, так как равны соответственные углы
19) Делаем вывод, что AK⊥FG.
Действительно, с одной стороны AK⊥BC,так как AK− высота ΔABC.
С другой стороны FG∥BC⇒AK⊥FG и AK− высота ΔAFG
20) Выразим AK через площадь
2⋅SΔAFG=FG⋅AK=AF⋅AG⋅sin∠FAG
AK=AF⋅AG⋅sin∠FAGFG
21) sin∠FAG=BDAB=2025=0.8
22) FGBC=AFAB
FG=BC⋅AFAB=25⋅925=9
23) AK=9⋅10.8⋅0.89=8.64
Что я заметил сидя на матоле годами, то что время (когда было оставлен комментарий) не показывается правильно в некоторых случаях. Например, когда прошло более часа, но не прошел 1 день. В этот период время показывает только правильно время часов, а минуты не правильно, там просто ставится время часов. Например, 1 час 1 минута, 11 часов 11 минута. Это наверное потому что перепутали время часов и минут когда создавался сайт.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.