Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 10 класс


H — ортоцентр остроугольного треугольника ABC, точки D и E — основания высот, проведенных соответственно из вершин B и C. Окружность с диаметром DE пересекает стороны AB и AC еще раз соответственно в точках F и G. Отрезки FG и AH пересекаются в точке K. Если BC=25, BD=20 и BE=7, то найдите длину отрезка AK.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 2 месяца назад #

Задача классная, мне понравилось, что решается простыми теоремами

Ответ: AK=8.64

Решение

1) ΔBEC прямоугольный, так как CE высота ΔABC. По теореме Пифагора

EC=BC2BE2=25272=24

2) ΔBDC прямоугольный, так как BD высота ΔABC. По теореме Пифагора

DC=BC2BD2=252202=15

3) ΔEHB подобен ΔDHC по трем углам

Ведь EHB=DHC как вертикальные

BEH=HDC=90

EBH=180(BEH+EHB)

HCD=180(HDC+DHC)HCD=EBH

4) Из подобия ΔEHBΔDHC имеем

EHDH=EBDC=BHCH

5) EB=7 (по условию) ; DC=15[см.пункт3]

Обозначим EH=x;BH=y, тогда

CH=ECEH=24x;DH=BDBH=20y

6) Из [4] и [5] получаем уравнения

x20y=715;715=y24x

Решим совместно эти уравнения. Получим x=5.25;y=8.75

7) Из [6] : EH=5.25;BH=8.75;

CH=245.25=18.75;DH=208.75=11.25

8) AEEC=tanECA=DHDC

AE=ECDHDC=2411.2515=18

9) AB=AE+BE=18+7=25=BCΔABC равнобедренный

10) По теореме Пифагора

AD=AB2BD2=252202=15

11) По теореме косинусов:

ED2=AD2+AE22ADAEcosEAD

cosEAD=AEAC=1830

ED2=152+182218151830=152ED=15

12) EFD=EGD=ED2=1802 (прямые углы как опирающиеся на диаметр)

13) Из [11]:ED=15; Из [10]:AD=15ΔEAD равнобедренный

14) AF=FE=9. Ведь EFD прямой [12], то есть DF высота для ΔEAD, а он равнобедренный [13]. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой.

15) ΔAGEΔADB (по трем углам). Из подобия треугольников:

AGAE=ADABAG=AEADAB=181525=10.8

16) Покажем подобие ΔFAG и ΔBAC.

AFAG=910.8=ABAC=2530=0.8(3)ΔFAGΔBAC

17) Из [16]:FGA=BCA

18) Из [21]:FGBC, так как равны соответственные углы

19) Делаем вывод, что AKFG.

Действительно, с одной стороны AKBC,так как AK высота ΔABC.

С другой стороны FGBCAKFG и AK высота ΔAFG

20) Выразим AK через площадь

2SΔAFG=FGAK=AFAGsinFAG

AK=AFAGsinFAGFG

21) sinFAG=BDAB=2025=0.8

22) FGBC=AFAB

FG=BCAFAB=25925=9

23) AK=910.80.89=8.64

  2
3 года 2 месяца назад #

очень простые теории, однако

  1
3 года 2 месяца назад #

АХХААХАХАХХААХАХА

  1
3 года 2 месяца назад #

Что я заметил сидя на матоле годами, то что время (когда было оставлен комментарий) не показывается правильно в некоторых случаях. Например, когда прошло более часа, но не прошел 1 день. В этот период время показывает только правильно время часов, а минуты не правильно, там просто ставится время часов. Например, 1 час 1 минута, 11 часов 11 минута. Это наверное потому что перепутали время часов и минут когда создавался сайт.

  0
3 года 2 месяца назад #

да не, это недавний баг. и че ты не спишь?