Математикадан аудандық олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Теңбүйірлі

$ABC$ үшбұрышында

$AB=AC$ және

$AB=AC$ . Егер

$B$ төбесінен түсірілген биссектрисаның ұзындығы 10 болса,

$A$ төбесінен түсірілген биіктіктің ұзындығын табыңыз.
комментарий/решение(5)

Есеп №2.

$n^4-2n^3+23n^2-22n+16$ санын толық квадрат ететін

$n$ натурал сандарының бәрін табыңыз.
комментарий/решение(13)

Есеп №3. 100 оқушы қатысқан «Жібек Жолы» олимпиадасында төрт есеп берілді. 1-есепті 90 оқушы, 2-есепті 80 оқушы, 3-есепті 70 оқушы, 4-есепті 60 оқушы шығарды. Ешбір оқушы төрт есептің бәрін шығара алмады. Неше оқушы дәл үш есептен шығарды? Жауабыңызды негіздеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Бізге 1, 3 және 5 цифрларын қолданып жазылған 2019 таңбалы сан берілген. Осы санның бөлгішінің соңғы цифры 7 болса, біз оны көңілді деп атаймыз. Санның бөлгіштерінің жартысынан кемі көңілді болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышының ішінен

$P$ нүктесі таңдап алынған. Егер

$PAB$ ,

$PBC$ ,

$PCA$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің радиустары өзара тең болса,

$P$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышының ортоцентрі екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$abc=2$ шартын қанағаттандыратын кез келген оң нақты

$a,b,c$ сандары үшін

$a^3+b^3+c^3 \ge a \sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(5)