Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 9 класс

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB=AC$ и $\angle B = 36^\circ.$ Длина биссектрисы, проведенной из вершины $B,$ равна 10. Найдите длину высоты, проведенной из вершины $A$.

Комментарий/решение

Пусть точка $D$ симметрична точке $A$ относительно $BC$. $E$ - пересечение $AD$ и $BC$. $AB = AC = DB = DC$. $ABDC$ - ромб. Пусть биссектрисы $\angle ABC$ и $\angle ACB$ пересекают $AC$ и $AB$ в точках $M$ и $N$ соответственно. $I$ - точка пересечения трех биссектрис. $\angle BAE = \angle CAE = 54^{\circ}$. $\angle ABM + \angle BAE = \angle BIE$ аналогично для $\angle DIC.$ $\angle DIC = \angle DIB = \angle AIN = \angle AIM = 72^{\circ}$. Значит $\angle CNA = \angle BNA = 54^{\circ}$, и $AI = IN = IM = a$, $BM = 10$ значит $BI = 10 - a$. $\angle IBD = \angle IDB$ значит $IB = ID = 10 - a$. $AD = 10$, $$AE = DE = 5$$

вау, мальчик гений, сша в шоке

Пусть высота создала точку $Q$ и $QC=QB=x$. Пусть биссектриса создала точку $S$. Заметим что в треугольнике $\Delta BCS$ по синусам выходит что $\frac{10}{Sin 36}=\frac{2x}{Sin 54}$ .Тогда по синусам в треугольнике $\Delta QCA$ выходит: $\frac{x}{Sin 54}=\frac{y}{Sin 36}$ ($y$ это высота, $Sin126=Sin54$). Отсюда $y=5$.