Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Дан равнобедренный треугольник ABC с AB=AC и ∠B=36∘. Длина биссектрисы, проведенной из вершины B, равна 10. Найдите длину высоты,
проведенной из вершины A.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №2. Найдите все натуральные числа n такие, что число n4−2n3+23n2−22n+16 является полным квадратом.
комментарий/решение(13)
комментарий/решение(13)
Задача №3. На олимпиаде «Шелковый Путь», где участвовали 100 школьников, были предложены четыре задачи. 1-ю задачу решили 90 школьников, 2-ю — 80, 3-ю — 70, а 4-ю — всего 60 школьников. Никто не решил все четыре задачи. Сколько школьников решили ровно по три задачи? Ответ обосновать.
комментарий/решение(11)
комментарий/решение(11)
Задача №4. Дано 2019-значное число, записанное с помощью цифр 1, 3 и 5. Делитель этого числа называется веселым, если его последняя цифра равна 7. Докажите, что меньше половины всех делителей числа являются веселыми.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Внутри треугольника ABC выбрана точка P. Докажите, что если радиусы окружностей, описанных около треугольников PAB, PBC, PCA, равны, то точка P — ортоцентр треугольника ABC.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Для положительных вещественных чисел a,b,c удовлетворяющих условию abc=2, докажите неравенство a3+b3+c3≥a√b+c+b√c+a+c√a+b.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)