Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 9 класс

Дано 2019-значное число, записанное с помощью цифр 1, 3 и 5. Делитель этого числа называется веселым, если его последняя цифра равна 7. Докажите, что меньше половины всех делителей числа являются веселыми.

Комментарий/решение

Пусть $$d_1, d_2, ..., d_n$$ - все делители данного числа, отличные от 1 и от самого числа.

Рассмотрим пары

$$d_i$$ и $$d_{n-i}, i=1, 2, ..., [n/2]$$

Произведение в каждой паре даёт данное число. Если оба делителя в одной паре - веселые, то данное число оканчивается на 9, что невозможно. Следовательно, в каждой паре не больше одного веселого делителя. Весёлых не больше [n/2]. А делителей, включая 1 и само число, n + 2

можно рассмотреть количество веселых делителей и количество всех делителей и сравнить их.

Пусть дано 2019-значное число, составленное из цифр 1, 3 и 5. Такое число можно представить в виде $2^{k_1} \times 3^{k_2} \times 5^{k_3}$, где $k_1, k_2, k_3$ - натуральные числа, и при этом $k_1 + k_2 + k_3 = 2019$.

Теперь, чтобы делитель числа заканчивался на 7, он должен быть вида $2^{a} \times 3^{b} \times 5^{c} \times 7$, где $a, b, c$ - натуральные числа, и $0 \leq a \leq k_1$, $0 \leq b \leq k_2$, $0 \leq c \leq k_3$.

Таким образом, общее количество делителей числа равно $(k_1 + 1) \times (k_2 + 1) \times (k_3 + 1)$, а количество веселых делителей будет равно $k_1 \times k_2 \times k_3$, так как для каждого из $k_1, k_2, k_3$ можно выбрать любое из значений $0$ до $k_i$, кроме $k_i$ (так как делитель должен заканчиваться на 7).

Таким образом, отношение числа веселых делителей к общему числу делителей будет равно $\frac{k_1 \times k_2 \times k_3}{(k_1 + 1) \times (k_2 + 1) \times (k_3 + 1)}$.

Это отношение будет меньше единицы, так как $k_1, k_2, k_3$ - натуральные числа. Следовательно, меньше половины всех делителей числа будут веселыми.