Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 9 класс
Комментарий/решение:
Пусть $$d_1, d_2, ..., d_n$$ - все делители данного числа, отличные от 1 и от самого числа.
Рассмотрим пары
$$d_i$$ и $$d_{n-i}, i=1, 2, ..., [n/2]$$
Произведение в каждой паре даёт данное число. Если оба делителя в одной паре - веселые, то данное число оканчивается на 9, что невозможно. Следовательно, в каждой паре не больше одного веселого делителя. Весёлых не больше [n/2]. А делителей, включая 1 и само число, n + 2
можно рассмотреть количество веселых делителей и количество всех делителей и сравнить их.
Пусть дано 2019-значное число, составленное из цифр 1, 3 и 5. Такое число можно представить в виде \(2^{k_1} \times 3^{k_2} \times 5^{k_3}\), где \(k_1, k_2, k_3\) - натуральные числа, и при этом \(k_1 + k_2 + k_3 = 2019\).
Теперь, чтобы делитель числа заканчивался на 7, он должен быть вида \(2^{a} \times 3^{b} \times 5^{c} \times 7\), где \(a, b, c\) - натуральные числа, и \(0 \leq a \leq k_1\), \(0 \leq b \leq k_2\), \(0 \leq c \leq k_3\).
Таким образом, общее количество делителей числа равно \((k_1 + 1) \times (k_2 + 1) \times (k_3 + 1)\), а количество веселых делителей будет равно \(k_1 \times k_2 \times k_3\), так как для каждого из \(k_1, k_2, k_3\) можно выбрать любое из значений \(0\) до \(k_i\), кроме \(k_i\) (так как делитель должен заканчиваться на 7).
Таким образом, отношение числа веселых делителей к общему числу делителей будет равно \(\frac{k_1 \times k_2 \times k_3}{(k_1 + 1) \times (k_2 + 1) \times (k_3 + 1)}\).
Это отношение будет меньше единицы, так как \(k_1, k_2, k_3\) - натуральные числа. Следовательно, меньше половины всех делителей числа будут веселыми.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.