Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 9 класс
Комментарий/решение:
\forall a,b,c >0,\quad abc=2 \qquad \qquad a^3+b^3+c^3 \geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}
\textbf{Решение:} 2a^3+2b^3+2c^3 = a^3+b^3+c^3+\frac{1}{2}\Bigg(\frac{a^3+a^3+b^3}{3}+\frac{a^3+a^3+c^3}{3}+\frac{b^3+b^3+a^3}{3}+ \frac{b^3+b^3+c^3}{3}+\frac{c^3+c^3+a^3}{3}+\frac{c^3+c^3+b^3}{3}\Bigg)\geq
\geq a^3+b^3+c^3+\frac{a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b}{2} =a^3+b^3+c^3+\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)}{2}=
=a^3+b^3+c^3+\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)}{abc}=a^3+b^3+c^3+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a} +\frac{a+c}{b}
= \Big( a^3+\frac{b+c}{a}\Big)+\Big( b^3+\frac{a+c}{b}\Big)+\Big( c^3+\frac{a+b}{c}\Big)\geq 2\sqrt{ a^3\cdot\frac{b+c}{a}}+2\sqrt{b^3\cdot\frac{a+c}{b}}+2\sqrt{c^3\cdot\frac{a+b}{c}}=
= 2a\sqrt{b+c}+2b\sqrt{a+c}+2c\sqrt{a+b}\Longleftrightarrow 2a^3+2b^3+2c^3 \geq 2a\sqrt{b+c}+2b\sqrt{a+c}+2c\sqrt{a+b}\Longleftrightarrow
\Longleftrightarrow a^3+b^3+c^3 \geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}
2(a^3+b^3+c^3)\ge a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) және \ \ a^3+b^3+c^3\ge 3abc=6 \ \ болғандықтан,
4(a^3+b^3+c^3)\ge 4+a^2(b+c)+4+b^2(c+a)+4+c^2(a+b)\ge
\ge 2\sqrt{4\cdot a^2(b+c)}+2\sqrt{4\cdot b^2(c+a)}+2\sqrt{4\cdot c^2(a+b)}=4\big( a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b} \big)
Лемма:
a^3+b^3 \geq \frac{2(a+b)}{c}
Дәлел:
a^3+b^3=\left(\frac{a^3}{3}+\frac{a^3}{3}+\frac{b^3}{3}\right)+\left(\frac{b^3}{3}+\frac{b^3}{3}+\frac{a^3}{3}\right)\geq3\sqrt[3]{\frac{a^3}{3}\times\frac{a^3}{3}\times\frac{b^3}{3}}+3\sqrt[3]{\frac{b^3}{3}\times\frac{b^3}{3}\times\frac{a^3}{3}} = a^2b+b^2a=ab(a+b)=\frac{2}{c}(a+b)=\frac{2(a+b)}{c}
Дәлелденді.
Жоғарыдағы лемма бойынша:
a^3+b^3+c^3=\frac{1}{4}((a^3+b^3)+(b^3+c^3)+(c^3+a^3))+\left(\frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{2}+\frac{c^3}{2}\right)\geq\frac{1}{4}\left(\frac{2(a+b)}{c}+\frac{2(b+c)}{a}+\frac{2(c+a)}{b}\right)+\left(\frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{2}+\frac{c^3}{2}\right)=\left(\frac{b+c}{2a}+\frac{a^3}{2}\right)+\left(\frac{c+a}{2b}+\frac{b^3}{2}\right)+\left(\frac{a+b}{2c}+\frac{c^3}{2}\right)\geq2\sqrt{\frac{b+c}{2a}\times\frac{a^3}{2}}+2\sqrt{\frac{c+a}{2b}\times\frac{b^3}{2}}+2\sqrt{\frac{a+b}{2c}\times\frac{c^3}{2}}=a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}
\Leftrightarrow
a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}
As was to be shown.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.