Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 9 класс

Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $P$. Докажите, что если радиусы окружностей, описанных около треугольников $PAB$, $PBC$, $PCA$, равны, то точка $P$ — ортоцентр треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Предположим треугольник $ABC$ не остроугольный, тогда в случае если $ABC$ тупоугольный, то ортоцентр будет вне треугольника (по условию $P$ - внутренняя $\triangle ABC$), а если $ABC$ прямоугольный, то ортоцентр есть вершина с прямым углом и два треугольника из $PAB, PBC, PCA$ будет на самом деле катетом треугольника, поэтому будем считать что $ABC$ остроугольный.

Пусть $R_{PAB}, R_{PBC}, R_{PCA}$ - радиусы описанных о соответствующие треугольники окружностей. Тогда по теореме синусов,

$\dfrac{BP}{\sin\angle PAB}=2R_{PAB}, \dfrac{BP}{\sin\angle PCB}=2R_{PBC}, R_{PAB}=R_{PBC}\Rightarrow\dfrac{BP}{\sin\angle PAB}=\dfrac{BP}{\sin\angle PCB}\Rightarrow\sin\angle PAB=\sin\angle PCB$

Значит возможны два случая: 1) $\angle PAB=\angle PCB$; 2) $\angle PAB+\angle PCB=180^\circ$. Предположим верно второе, тогда один из углов $\angle PAB, \angle PCB$ будет не острым, а по условию P - внутренняя $\triangle ABC$, следовательно, $AP$ и $CP$ внутренние лучи соответствующих углов треугольника $ABC$, т.е. $\angle A>\angle PAB, \angle C>\angle PCB$ и один из углов $\angle A, \angle C$ будет тупым - противоречие, ведь $\triangle ABC$ остроугольный.

Аналогично доказываем равенство $\angle PBA=\angle PCA$.

Теперь заметим что, $\angle PBA+\angle PAB=\angle PCA+\angle PCB=\angle C$, из этого следует,

$\angle APB=180^\circ-(\angle PBA+\angle PAB)=180^\circ-\angle C$

Аналогично доказывается что, $\angle BPC=180^\circ-\angle A, \angle APC=180^\circ-\angle B$

А внутри треугольника найдется единственная точка что его стороны из этой точки видны под данными углами, а из ортоцентра остроугольного треугольника стороны $AB, BC, AC$ как раз видны под углами $180^\circ-\angle C, 180^\circ-\angle A, 180^\circ-\angle B$ соответственно, что верно и для точки P, значит P - ортоцентр треугольника $ABC$.

Что требовалось доказать.