Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, 9 сынып


ABC үшбұрышының ішінен P нүктесі таңдап алынған. Егер PAB, PBC, PCA үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің радиустары өзара тең болса, P нүктесі ABC үшбұрышының ортоцентрі екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
4 года 4 месяца назад #

Предположим треугольник ABC не остроугольный, тогда в случае если ABC тупоугольный, то ортоцентр будет вне треугольника (по условию P - внутренняя ABC), а если ABC прямоугольный, то ортоцентр есть вершина с прямым углом и два треугольника из PAB,PBC,PCA будет на самом деле катетом треугольника, поэтому будем считать что ABC остроугольный.

Пусть RPAB,RPBC,RPCA - радиусы описанных о соответствующие треугольники окружностей. Тогда по теореме синусов,

BPsinPAB=2RPAB,BPsinPCB=2RPBC,RPAB=RPBCBPsinPAB=BPsinPCBsinPAB=sinPCB

Значит возможны два случая: 1) PAB=PCB; 2) PAB+PCB=180. Предположим верно второе, тогда один из углов PAB,PCB будет не острым, а по условию P - внутренняя ABC, следовательно, AP и CP внутренние лучи соответствующих углов треугольника ABC, т.е. A>PAB,C>PCB и один из углов A,C будет тупым - противоречие, ведь ABC остроугольный.

Аналогично доказываем равенство PBA=PCA.

Теперь заметим что, PBA+PAB=PCA+PCB=C, из этого следует,

APB=180(PBA+PAB)=180C

Аналогично доказывается что, BPC=180A,APC=180B

А внутри треугольника найдется единственная точка что его стороны из этой точки видны под данными углами, а из ортоцентра остроугольного треугольника стороны AB,BC,AC как раз видны под углами 180C,180A,180B соответственно, что верно и для точки P, значит P - ортоцентр треугольника ABC.

Что требовалось доказать.