Математикадан аудандық олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
Предположим треугольник ABC не остроугольный, тогда в случае если ABC тупоугольный, то ортоцентр будет вне треугольника (по условию P - внутренняя △ABC), а если ABC прямоугольный, то ортоцентр есть вершина с прямым углом и два треугольника из PAB,PBC,PCA будет на самом деле катетом треугольника, поэтому будем считать что ABC остроугольный.
Пусть RPAB,RPBC,RPCA - радиусы описанных о соответствующие треугольники окружностей. Тогда по теореме синусов,
BPsin∠PAB=2RPAB,BPsin∠PCB=2RPBC,RPAB=RPBC⇒BPsin∠PAB=BPsin∠PCB⇒sin∠PAB=sin∠PCB
Значит возможны два случая: 1) ∠PAB=∠PCB; 2) ∠PAB+∠PCB=180∘. Предположим верно второе, тогда один из углов ∠PAB,∠PCB будет не острым, а по условию P - внутренняя △ABC, следовательно, AP и CP внутренние лучи соответствующих углов треугольника ABC, т.е. ∠A>∠PAB,∠C>∠PCB и один из углов ∠A,∠C будет тупым - противоречие, ведь △ABC остроугольный.
Аналогично доказываем равенство ∠PBA=∠PCA.
Теперь заметим что, ∠PBA+∠PAB=∠PCA+∠PCB=∠C, из этого следует,
∠APB=180∘−(∠PBA+∠PAB)=180∘−∠C
Аналогично доказывается что, ∠BPC=180∘−∠A,∠APC=180∘−∠B
А внутри треугольника найдется единственная точка что его стороны из этой точки видны под данными углами, а из ортоцентра остроугольного треугольника стороны AB,BC,AC как раз видны под углами 180∘−∠C,180∘−∠A,180∘−∠B соответственно, что верно и для точки P, значит P - ортоцентр треугольника ABC.
Что требовалось доказать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.