Математикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$ABC$ сүйір бұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрін

$O$ деп белгілейік. Үшбұрыштың

$A$ төбесінен

$CO$ түзуіне түсірілген биіктіктің табанын

$K$ деп белгілейік.

$K$ нүктесінен

$BC$ түзуіне түсірілген биіктік

$AB$ түзуін

$N$ нүктесінде қиып өтсін, онда

$CN$ және

$AB$ түзулері перпендикуляр екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Сол жақ үстіңгі торы қара түсте болатын шахмат түрінде боялған

$n\times n$ шаршысы берілген. Шаршымен келесі операцияны орындауға болады: дәл үш торы ақ болатын

$3\times 2$ немесе

$2\times 3$ тіктөртбұрышты таңдап алып, оларды қара түске бояуға болады.

$n$ натурал санның қандай мәнінде осы операцияның көмегімен бүкіл торларды қара түске бояп шығуға болады?
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

${{x}^{2}}+2x$ және

${{x}^{3}}-6x$ сандары рационал болатындай бүкіл иррационал

$x$ санын табыңыз.
комментарий/решение(7)

Есеп №4.

$[n\sqrt{2}]=\left[ \dfrac{3}{2}n \right]$ теңдігі орындалатындай барлық натурал

$n$ санын табыңыз. (Мұндағы

$[x]$ — санның бүтін бөлігі, яғни нақты

$x$ саннан аспайтын ең үлкен бүтін сан).
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышына

$(AB < BC)$ іштей сызылған шеңбердің центрі

$I$ деп белгіленсін.

$AC$ қабырғасының ортасын

$M$ деп белгілейік.

$ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбердің

$B$ төбесі жататын

$AC$ доғасының ортасын

$N$ деп белгілесек, онда

$\angle IMA=\angle INB$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(9)

Есеп №6. Мектепте 2009 ұлдар және 2009 қыздар оқиды. Әрбір оқушының баратын үйірмелер саны 100-ден аспайды. Кез-келген ұл әрбір қызбен кем дегенде бір үйірмеге барады. Кем дегенде 11 қыз және кем дегенде 11 ұл қатысатын үйірме барын дәлелдеңіз.
комментарий/решение