Областная олимпиада по математике, 2009 год, 9 класс

В треугольнике $ABC$ ($AB < BC$) точка $I$ — центр вписанной окружности, $M$ — середина стороны $AC$, $N$ — середина дуги $ABC$ описанной окружности. Докажите, что $\angle IMA = \angle INB$.

Комментарий/решение

Лемма о воробьях

а что значит середина дуги АВС?

Середина дуги $AC$, содержащей точку $B$.

спс

Пусть $\angle INB=\alpha$ и описанная окр. треугольника $ABC$ пересекает стороны $AB,BC$ в точках $C_1,A_1$ соответсвенно. Тогда, по лемме о воробьях точки $I,A_1,C_1,B,N$ лежат на одной окружности и $A_1C=AM=MC=AC_1$ откуда $\angle INB=\angle IA_1B$, $\triangle IMC=\triangle IA_1C$. Получается $\angle IA_1C=\angle IMC=180-\alpha => \angle INB=\angle IMB=\alpha$ ч.т.д.

"описанная окр. треугольника $ABC$ пересекает стороны $AB, BC$ в точках $C_1,A_1$"?

Мне кажется тут опечатка

Ой, да извините описанная окружность $\triangle INB$.

Спасибо что исправили!

я тебя впервые вижу вежливым

а я тебя впервые на матоле, пр