Областная олимпиада по математике, 2009 год, 9 класс


В треугольнике $ABC$ ($AB < BC$) точка $I$ — центр вписанной окружности, $M$ — середина стороны $AC$, $N$ — середина дуги $ABC$ описанной окружности. Докажите, что $\angle IMA = \angle INB$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2021-02-19 16:14:50.0 #

Лемма о воробьях

  0
2024-06-14 22:29:38.0 #

а что значит середина дуги АВС?

  0
2024-06-14 22:50:22.0 #

Середина дуги $AC$, содержащей точку $B$.

  0
2024-07-05 00:07:49.0 #

спс

  0
2024-07-05 00:07:24.0 #

Пусть $\angle INB=\alpha$ и описанная окр. треугольника $ABC$ пересекает стороны $AB,BC$ в точках $C_1,A_1$ соответсвенно. Тогда, по лемме о воробьях точки $I,A_1,C_1,B,N$ лежат на одной окружности и $A_1C=AM=MC=AC_1$ откуда $\angle INB=\angle IA_1B$, $\triangle IMC=\triangle IA_1C$. Получается $\angle IA_1C=\angle IMC=180-\alpha => \angle INB=\angle IMB=\alpha$ ч.т.д.

пред. Правка 2   0
2024-07-08 02:36:03.0 #

"описанная окр. треугольника $ABC$ пересекает стороны $AB, BC$ в точках $C_1,A_1$"?

Мне кажется тут опечатка

  0
2024-07-08 04:28:57.0 #

Ой, да извините описанная окружность $\triangle INB$.

Спасибо что исправили!