қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2009 год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Дан остроугольный треугольник $ABC$ с центром описанной окружности в точке $O$. Обозначим через $K$ основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CO$. Пусть перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на прямую $BC$ пересекает прямую $AB$ в точке $N$. Докажите, что прямые $CN$ и $AB$ перпендикулярны.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Дан квадрат $n \times n$, раскрашенный в шахматном порядке так, что левая верхняя угловая клетка черная. Над квадратом разрешается совершать следующую операцию: выбрать прямоугольник размером $3\times 2$ или $2 \times 3$, в котором ровно три белые клетки, и перекрасить их в черный цвет. При каких натуральных значениях $n$ при помощи таких операций можно перекрасить все клетки в черный цвет?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Определите все иррациональные числа $x$ такие, что оба числа $x^2+2x$ и $x^3-6x$ — рациональные.
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Задача №4. Определите все натуральные числа $n$, для которых выполнено равенство $ [n\sqrt 2 ] = \left[ {\dfrac{3n}{2}} \right]$. (Здесь $[x]$ — целая часть числа, то есть наибольшее целое число, не превосходящее действительного числа $x$)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В треугольнике $ABC$ ($AB < BC$) точка $I$ — центр вписанной
окружности, $M$ — середина стороны $AC$, $N$ — середина дуги $ABC$
описанной окружности. Докажите, что $\angle IMA = \angle INB$.
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Задача №6. В школе учатся 2009 мальчиков и 2009 девочек. Каждый школьник посещает не более 100 кружков. Известно, что любой мальчик посещает с каждой девочкой по крайней мере один общий кружок. Докажите, что существует кружок, который посещают по крайней мере 11 мальчиков и 11 девочек.
комментарий/решение
комментарий/решение