Областная олимпиада по математике, 2009 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Дан остроугольный треугольник

$ABC$ с центром описанной окружности в точке

$O$ . Обозначим через

$K$ основание перпендикуляра, опущенного из точки

$A$ на прямую

$CO$ . Пусть перпендикуляр, опущенный из точки

$K$ на прямую

$BC$ пересекает прямую

$AB$ в точке

$N$ . Докажите, что прямые

$CN$ и

$AB$ перпендикулярны.
комментарий/решение(3)

Задача №2. Дан квадрат

$n \times n$ , раскрашенный в шахматном порядке так, что левая верхняя угловая клетка черная. Над квадратом разрешается совершать следующую операцию: выбрать прямоугольник размером

$3\times 2$ или

$2 \times 3$ , в котором ровно три белые клетки, и перекрасить их в черный цвет. При каких натуральных значениях

$n$ при помощи таких операций можно перекрасить все клетки в черный цвет?
комментарий/решение(3)

Задача №3. Определите все иррациональные числа

$x$ такие, что оба числа

$x^2+2x$ и

$x^3-6x$ — рациональные.
комментарий/решение(7)

Задача №4. Определите все натуральные числа

$n$ , для которых выполнено равенство

$[n\sqrt 2 ] = \left[ {\dfrac{3n}{2}} \right]$ . (Здесь

$[x]$ — целая часть числа, то есть наибольшее целое число, не превосходящее действительного числа

$x$ )
комментарий/решение(1)

Задача №5. В треугольнике

$ABC$ (

$AB < BC$ ) точка

$I$ — центр вписанной окружности,

$M$ — середина стороны

$AC$ ,

$N$ — середина дуги

$ABC$ описанной окружности. Докажите, что

$\angle IMA = \angle INB$ .
комментарий/решение(9)

Задача №6. В школе учатся 2009 мальчиков и 2009 девочек. Каждый школьник посещает не более 100 кружков. Известно, что любой мальчик посещает с каждой девочкой по крайней мере один общий кружок. Докажите, что существует кружок, который посещают по крайней мере 11 мальчиков и 11 девочек.
комментарий/решение