Областная олимпиада по математике, 2009 год, 9 класс

Дан остроугольный треугольник $ABC$ с центром описанной окружности в точке $O$. Обозначим через $K$ основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CO$. Пусть перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на прямую $BC$ пересекает прямую $AB$ в точке $N$. Докажите, что прямые $CN$ и $AB$ перпендикулярны.

Комментарий/решение

Продолжим $AK$ за отрезок $CK$ до пересечения с окружностью , и положим что это точка $M$ . Заметим что $CO$-радиус окружности , который перпендикулярен по условию $AK$ , значит $MK=AK$. Тогда вписанные углы $\angle AMC=\angle ABC$ так как опираются на одну и ту же дугу. $\Delta AMC$ равнобедренный , высота есть медиана , значит $ \angle KAC = \angle ABC$. Осталось заметить что $\angle BNL = \angle KCA$ , так же как и $\angle BAC = \angle NKD$ , где $D$ точка пересечения $AB$ с $CO$. То есть около четырехугольника $ANKC$ можно описать окружность , значит $\angle ANC = \angle AKC=90^\circ$ .

Пусть CN' высота треугольника ABC, KN' пересекает BC в точке P. Тогда ACNK вписанный и BNP=KNA=KCA=BCN, так как О это центр описанной, а СN' высота. Значит, BNP подобен BCN => KP перпендикуляр на BC =>N совпадает с N'=>KN перпендикулярен BC.

Обозначим $F$ пересечением прямых $CB$ и $KN$. Заметим то что $\angle KCB$ = $\angle ACN$. Достаточно доказать что точки $C, K, N, A$ лежат на одной окружности(поскольку если лежат то $\angle AKC$ = $\angle ANC$ = $90^\circ$). Тогда можно доказать то что $\angle AKN$ = $\angle ACN$, это верно поскольку $\angle AKN$ = $90^\circ-\angle CKF$ =$\angle KCB$=$\angle ACN$