Математикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 9 сынып

$ABC$ сүйір бұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрін $O$ деп белгілейік. Үшбұрыштың $A$ төбесінен $CO$ түзуіне түсірілген биіктіктің табанын $K$ деп белгілейік. $K$ нүктесінен $BC$ түзуіне түсірілген биіктік $AB$ түзуін $N$ нүктесінде қиып өтсін, онда $CN$ және $AB$ түзулері перпендикуляр екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Продолжим $AK$ за отрезок $CK$ до пересечения с окружностью , и положим что это точка $M$ . Заметим что $CO$-радиус окружности , который перпендикулярен по условию $AK$ , значит $MK=AK$. Тогда вписанные углы $\angle AMC=\angle ABC$ так как опираются на одну и ту же дугу. $\Delta AMC$ равнобедренный , высота есть медиана , значит $ \angle KAC = \angle ABC$. Осталось заметить что $\angle BNL = \angle KCA$ , так же как и $\angle BAC = \angle NKD$ , где $D$ точка пересечения $AB$ с $CO$. То есть около четырехугольника $ANKC$ можно описать окружность , значит $\angle ANC = \angle AKC=90^\circ$ .

Пусть CN' высота треугольника ABC, KN' пересекает BC в точке P. Тогда ACNK вписанный и BNP=KNA=KCA=BCN, так как О это центр описанной, а СN' высота. Значит, BNP подобен BCN => KP перпендикуляр на BC =>N совпадает с N'=>KN перпендикулярен BC.

Обозначим $F$ пересечением прямых $CB$ и $KN$. Заметим то что $\angle KCB$ = $\angle ACN$. Достаточно доказать что точки $C, K, N, A$ лежат на одной окружности(поскольку если лежат то $\angle AKC$ = $\angle ANC$ = $90^\circ$). Тогда можно доказать то что $\angle AKN$ = $\angle ACN$, это верно поскольку $\angle AKN$ = $90^\circ-\angle CKF$ =$\angle KCB$=$\angle ACN$