Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 9 сынып


ABC сүйір бұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрін O деп белгілейік. Үшбұрыштың A төбесінен CO түзуіне түсірілген биіктіктің табанын K деп белгілейік. K нүктесінен BC түзуіне түсірілген биіктік AB түзуін N нүктесінде қиып өтсін, онда CN және AB түзулері перпендикуляр екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
9 года 2 месяца назад #

Продолжим AK за отрезок CK до пересечения с окружностью , и положим что это точка M . Заметим что CO-радиус окружности , который перпендикулярен по условию AK , значит MK=AK. Тогда вписанные углы AMC=ABC так как опираются на одну и ту же дугу. ΔAMC равнобедренный , высота есть медиана , значит KAC=ABC. Осталось заметить что BNL=KCA , так же как и BAC=NKD , где D точка пересечения AB с CO. То есть около четырехугольника ANKC можно описать окружность , значит ANC=AKC=90 .

  4
5 года 4 месяца назад #

Пусть CN' высота треугольника ABC, KN' пересекает BC в точке P. Тогда ACNK вписанный и BNP=KNA=KCA=BCN, так как О это центр описанной, а СN' высота. Значит, BNP подобен BCN => KP перпендикуляр на BC =>N совпадает с N'=>KN перпендикулярен BC.

  2
6 месяца 28 дней назад #

Обозначим F пересечением прямых CB и KN. Заметим то что KCB = ACN. Достаточно доказать что точки C,K,N,A лежат на одной окружности(поскольку если лежат то AKC = ANC = 90). Тогда можно доказать то что AKN = ACN, это верно поскольку AKN = 90CKF =KCB=ACN