Математикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 9 сынып
ABC сүйір бұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрін O деп белгілейік. Үшбұрыштың A төбесінен CO түзуіне түсірілген биіктіктің табанын K деп белгілейік. K нүктесінен BC түзуіне түсірілген биіктік AB түзуін N нүктесінде қиып өтсін, онда CN және AB түзулері перпендикуляр екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Продолжим AK за отрезок CK до пересечения с окружностью , и положим что это точка M . Заметим что CO-радиус окружности , который перпендикулярен по условию AK , значит MK=AK. Тогда вписанные углы ∠AMC=∠ABC так как опираются на одну и ту же дугу. ΔAMC равнобедренный , высота есть медиана , значит ∠KAC=∠ABC. Осталось заметить что ∠BNL=∠KCA , так же как и ∠BAC=∠NKD , где D точка пересечения AB с CO. То есть около четырехугольника ANKC можно описать окружность , значит ∠ANC=∠AKC=90∘ .
Пусть CN' высота треугольника ABC, KN' пересекает BC в точке P. Тогда ACNK вписанный и BNP=KNA=KCA=BCN, так как О это центр описанной, а СN' высота. Значит, BNP подобен BCN => KP перпендикуляр на BC =>N совпадает с N'=>KN перпендикулярен BC.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.