Геометриядан 6-шы Иран олимпиадасы, 2019 жыл, 3-ші лига, 11-12 сыныптар

Есеп №1. $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $\omega_1$ шеңберіне $A$ нүктесінде жүргізілген жанама бойынан $\angle ABC = 90^\circ$ болатындай $C$ нүктесі белгіленген. $C$ нүктесі арқылы жүргізілген $\ell$ түзуі $\omega_2$-ні $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $AP$ және $AQ$ түзулері $\omega_1$-ді екінші рет сәйкесінше $X$ және $Z$ нүктелерінде қияды. $Y$ нүктесі — $A$-дан $\ell$-ге түсірілген перпендикуляр табаны. $X$, $Y$ және $Z$ нүктелерінің бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Кез келген дөңес $n$-бұрышта ($n > 3$) қандай да бір төбеден шыққан диагональ мен осы төбеден шыққан қабырғалардың арасындағы бұрыштар сүйір болатындай төбе әрқашан да табылады ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Центрлері сәйкесінше $O_1$ және $O_2$ болатын $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері $X$ және $Y$ нүктелерінде қиылысады. $ AB$ сызығы — осы шеңберлердің ортақ жанамасы ($A$ нүктесі $\omega_1$-де, ал $B$ — $\omega_2$-де жатыр). $\omega_1$ және $\omega_2$-ге $X$ нүктесінде жүргізілген жанамалар $O_1O_2$ түзуін сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелерінде қияды. $BL$ түзуі $\omega_2$-ні екінші рет $M$, ал $ AK$ түзуі $\omega_1$-ді екінші рет $N$ нүктесінде қияды. $ AM $, $BN$ және $O_1O_2$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Сүйірбұрышты теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышы $\Gamma$ шеңберіне іштей сызылған. $M$ нүктесі $BC$ кесіндісінің ортасы, ал $N$ нүктесі $\Gamma$ шеңберінің $A$ нүктесін қамтымайтын $\arc{BC}$ доғасының ортасы. $\Gamma$ шеңберінде $ BX \parallel CY \parallel AM $ болатындай $X$ және $Y$ нүктелері белгіленген. $BC$ кесіндісінде $XYZ$ шеңберіне сырттай сызылған шеңбер $BC$-ны жанайтындай $Z$ нүктесі табылған. $ZMN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $\omega$ арқылы белгілейік. $AM$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $P$ нүктесінде қисын. $\omega$-дан $KN \parallel AM$ болатындай $K$ нүктесі белгіленген. $\omega_b$ арқылы $B$ және $X$ нүктелері арқылы өтетін және $BC$ түзуін жанайтын шеңберді, ал $\omega_c$ арқылы $C$ және $Y$ нүктелері арқылы өтетін және $BC$ түзуін жанайтын шеңберді белгілейік. Центрі $K$ және радиусы $KP$ болатын шеңбер $\omega_b$, $\omega_c$ және $\Gamma$ шеңберлерімен жанасатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №5. Фокусы $H$ болатын $\Delta$ параболасы берілген. $\Delta$ бойынан $ABC$ үшбұрышының ортоцентрі $H$ нүктесімен беттесетіндей $A$, $B$ және $C$ нүктелері таңдалынады. Осындай $ABC$ үшбұрыштардың барлығында іштей сызылған шеңберлердің радиустары бірдей екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)