Геометриядан 6-шы Иран олимпиадасы, 2019 жыл, 3-ші лига, 11-12 сыныптар

Есеп №1.

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлері

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады.

$\omega_1$ шеңберіне

$A$ нүктесінде жүргізілген жанама бойынан

$\angle ABC = 90^\circ$ болатындай

$C$ нүктесі белгіленген.

$C$ нүктесі арқылы жүргізілген

$\ell$ түзуі

$\omega_2$ -ні

$P$ және

$Q$ нүктелерінде қияды.

$AP$ және

$AQ$ түзулері

$\omega_1$ -ді екінші рет сәйкесінше

$X$ және

$Z$ нүктелерінде қияды.

$Y$ нүктесі —

$A$ -дан

$\ell$ -ге түсірілген перпендикуляр табаны.

$X$ ,

$Y$ және

$Z$ нүктелерінің бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Кез келген дөңес

$n$ -бұрышта (

$n > 3$ ) қандай да бір төбеден шыққан диагональ мен осы төбеден шыққан қабырғалардың арасындағы бұрыштар сүйір болатындай төбе әрқашан да табылады ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Центрлері сәйкесінше

$O_1$ және

$O_2$ болатын

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлері

$X$ және

$Y$ нүктелерінде қиылысады.

$AB$ сызығы — осы шеңберлердің ортақ жанамасы (

$A$ нүктесі

$\omega_1$ -де, ал

$B$ —

$\omega_2$ -де жатыр).

$\omega_1$ және

$\omega_2$ -ге

$X$ нүктесінде жүргізілген жанамалар

$O_1O_2$ түзуін сәйкесінше

$K$ және

$L$ нүктелерінде қияды.

$BL$ түзуі

$\omega_2$ -ні екінші рет

$M$ , ал

$AK$ түзуі

$\omega_1$ -ді екінші рет

$N$ нүктесінде қияды.

$AM$ ,

$BN$ және

$O_1O_2$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Сүйірбұрышты теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышы

$\Gamma$ шеңберіне іштей сызылған.

$M$ нүктесі

$BC$ кесіндісінің ортасы, ал

$N$ нүктесі

$\Gamma$ шеңберінің

$A$ нүктесін қамтымайтын

$\arc{BC}$ доғасының ортасы.

$\Gamma$ шеңберінде

$BX \parallel CY \parallel AM$ болатындай

$X$ және

$Y$ нүктелері белгіленген.

$BC$ кесіндісінде

$XYZ$ шеңберіне сырттай сызылған шеңбер

$BC$ -ны жанайтындай

$Z$ нүктесі табылған.

$ZMN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді

$\omega$ арқылы белгілейік.

$AM$ түзуі

$\omega$ -ны екінші рет

$P$ нүктесінде қисын.

$\omega$ -дан

$KN \parallel AM$ болатындай

$K$ нүктесі белгіленген.

$\omega_b$ арқылы

$B$ және

$X$ нүктелері арқылы өтетін және

$BC$ түзуін жанайтын шеңберді, ал

$\omega_c$ арқылы

$C$ және

$Y$ нүктелері арқылы өтетін және

$BC$ түзуін жанайтын шеңберді белгілейік. Центрі

$K$ және радиусы

$KP$ болатын шеңбер

$\omega_b$ ,

$\omega_c$ және

$\Gamma$ шеңберлерімен жанасатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №5. Фокусы

$H$ болатын

$\Delta$ параболасы берілген.

$\Delta$ бойынан

$ABC$ үшбұрышының ортоцентрі

$H$ нүктесімен беттесетіндей

$A$ ,

$B$ және

$C$ нүктелері таңдалынады. Осындай

$ABC$ үшбұрыштардың барлығында іштей сызылған шеңберлердің радиустары бірдей екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)