6-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2019 год, третья лига, 11-12 классы

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно пересекаются в точках $X$ и $Y$. Прямая $AB$ является общей внешней касательной к этим окружностям, причём точка $A$ лежит на $\omega_1$, а $B$ — на $\omega_2$. Касательные к $\omega_1$ и $\omega_2$, проведённые в точке $X$, пересекают прямую $O_1O_2$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Прямая $BL$ вторично пересекает $\omega_2$ в точке $M$, а прямая $AK$ вторично пересекает $\omega_1$ в точке $N$. Докажите, что прямые $AM$, $BN$ и $O_1O_2$ пересекаются в одной точке.

Комментарий/решение

Если произвести инверсию относительно $X$ с ненулевым радиусом, то задача перейдет в такую:

Дана окружность с центром $Y$ и произвольными точками $L,X,K$ на ней. Прямые $\omega_1,\omega_2$ параллельны $XL,XK$ соответственно и проходят через $Y$. $A$ и $B$ на $\omega_1,\omega_2$ соответственно таковы, что $YA=YB$. $\omega_1\cap (XAK)=N,\omega_2\cap (XBL)=M.$ Доказать, что $(AMX),(XBN),(LXK)$ соосны ($X$ в изначальной конфигурации Б.О.О. ближе к $AB$ чем $Y$, так как в ином случае можно рассмотреть инверсию относительно $Y$).

Из $XK||AN$ следует, что $AX=KN$, но также $YX=YK$, а $\angle AXY=\angle AXK-\angle YXK=\angle YKN,$ поэтому $AY=YN$. Аналогично $BY=YM$.

Пусть $(AMX)$ вторично пересечет $(LXK)$ в $P$, тогда так как серединный перпендикуляр к $AM$ проходит и через $Y$, то $PX||AM$. Пусть $(XBN)$ вторично пересечет $(LXK)$ в $Q$, тогда так как серединный перпендикуляр к $BN$ проходит и через $Y$, то $QX||BN$. Но из того, что $ABNM$ образует прямоугольник следует, что $AM||BN$. Это равносильно утверждению.