Геометриядан 6-шы Иран олимпиадасы, 2019 жыл, 3-ші лига, 11-12 сыныптар

Центрлері сәйкесінше $O_1$ және $O_2$ болатын $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері $X$ және $Y$ нүктелерінде қиылысады. $ AB$ сызығы — осы шеңберлердің ортақ жанамасы ($A$ нүктесі $\omega_1$-де, ал $B$ — $\omega_2$-де жатыр). $\omega_1$ және $\omega_2$-ге $X$ нүктесінде жүргізілген жанамалар $O_1O_2$ түзуін сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелерінде қияды. $BL$ түзуі $\omega_2$-ні екінші рет $M$, ал $ AK$ түзуі $\omega_1$-ді екінші рет $N$ нүктесінде қияды. $ AM $, $BN$ және $O_1O_2$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Если произвести инверсию относительно $X$ с ненулевым радиусом, то задача перейдет в такую:

Дана окружность с центром $Y$ и произвольными точками $L,X,K$ на ней. Прямые $\omega_1,\omega_2$ параллельны $XL,XK$ соответственно и проходят через $Y$. $A$ и $B$ на $\omega_1,\omega_2$ соответственно таковы, что $YA=YB$. $\omega_1\cap (XAK)=N,\omega_2\cap (XBL)=M.$ Доказать, что $(AMX),(XBN),(LXK)$ соосны ($X$ в изначальной конфигурации Б.О.О. ближе к $AB$ чем $Y$, так как в ином случае можно рассмотреть инверсию относительно $Y$).

Из $XK||AN$ следует, что $AX=KN$, но также $YX=YK$, а $\angle AXY=\angle AXK-\angle YXK=\angle YKN,$ поэтому $AY=YN$. Аналогично $BY=YM$.

Пусть $(AMX)$ вторично пересечет $(LXK)$ в $P$, тогда так как серединный перпендикуляр к $AM$ проходит и через $Y$, то $PX||AM$. Пусть $(XBN)$ вторично пересечет $(LXK)$ в $Q$, тогда так как серединный перпендикуляр к $BN$ проходит и через $Y$, то $QX||BN$. Но из того, что $ABNM$ образует прямоугольник следует, что $AM||BN$. Это равносильно утверждению.