6-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2019 год, третья лига, 11-12 классы
Задача №1. Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках A и B. На касательной к окружности ω1, проведённой в точке A, выбрана такая точка C, что ∠ABC=90∘. Через точку C проведена прямая ℓ, которая пересекает ω2 в точках P и Q. Прямые AP и AQ вторично пересекают ω1 в точках X и Z соответственно. Пусть Y — основание перпендикуляра из точки A на прямую ℓ. Докажите, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Верно ли, что в любом выпуклом n-угольнике, n>3, существует вершина и выходящая из неё диагональ такие, что диагональ образует острые углы с обеими сторонами, выходящими из этой вершины?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Окружности ω1 и ω2 с центрами O1 и O2 соответственно пересекаются в точках X и Y. Прямая AB является общей внешней касательной к этим окружностям, причём точка A лежит на ω1, а B — на ω2. Касательные к ω1 и ω2, проведённые в точке X, пересекают прямую O1O2 в точках K и L соответственно. Прямая BL вторично пересекает ω2 в точке M, а прямая AK вторично пересекает ω1 в точке N. Докажите, что прямые AM, BN и O1O2 пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Остроугольный неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность Γ. Точка M — середина отрезка BC, точка N — середина дуги ^BC окружности Γ (не содержащей точку A). На Γ выбраны такие точки X и Y, что BX∥CY∥AM. На отрезке BC нашлась такая точка Z, что описанная окружность треугольника XYZ касается прямой BC. Обозначим описанную окружность треугольника ZMN через ω. Прямая AM вторично пересекает ω в точке P. Точка K на ω такова, что KN∥AM. Обозначим через ωb окружность, проходящую через точки B, X и касающуюся прямой BC, а через ωc — окружность, проходящую через точки C, Y и касающуюся прямой BC. Докажите, что окружность с центром в точке K и радиусом KP касается 3 окружностей: ωb, ωc и Γ.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Дана парабола Δ с фокусом H. На параболе Δ выбираются точки A, B и C такие, что ортоцентр треугольника ABC совпадает с точкой H. Докажите, что у всех таких треугольников ABC одинаковый радиус вписанной окружности.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)