6-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2019 год, третья лига, 11-12 классы

Задача №1. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. На касательной к окружности $\omega_1$, проведённой в точке $A$, выбрана такая точка $C$, что $\angle ABC = 90^\circ$. Через точку $C$ проведена прямая $\ell$, которая пересекает $\omega_2$ в точках $P$ и $Q$. Прямые $AP$ и $AQ$ вторично пересекают $\omega_1$ в точках $X$ и $Z$ соответственно. Пусть $Y$ — основание перпендикуляра из точки $A$ на прямую $\ell$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Верно ли, что в любом выпуклом $n$-угольнике, $n>3$, существует вершина и выходящая из неё диагональ такие, что диагональ образует острые углы с обеими сторонами, выходящими из этой вершины?
комментарий/решение(1)

Задача №3. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно пересекаются в точках $X$ и $Y$. Прямая $AB$ является общей внешней касательной к этим окружностям, причём точка $A$ лежит на $\omega_1$, а $B$ — на $\omega_2$. Касательные к $\omega_1$ и $\omega_2$, проведённые в точке $X$, пересекают прямую $O_1O_2$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Прямая $BL$ вторично пересекает $\omega_2$ в точке $M$, а прямая $AK$ вторично пересекает $\omega_1$ в точке $N$. Докажите, что прямые $AM$, $BN$ и $O_1O_2$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Gamma$. Точка $M$ — середина отрезка $BC$, точка $N$ — середина дуги $\widehat{BC}$ окружности $\Gamma$ (не содержащей точку $A$). На $\Gamma$ выбраны такие точки $X$ и $Y$, что $BX \parallel CY \parallel AM$. На отрезке $BC$ нашлась такая точка $Z$, что описанная окружность треугольника $XYZ$ касается прямой $BC$. Обозначим описанную окружность треугольника $ZMN$ через $\omega$. Прямая $AM$ вторично пересекает $\omega$ в точке $P$. Точка $K$ на $\omega$ такова, что $KN \parallel AM$. Обозначим через $\omega_b$ окружность, проходящую через точки $B$, $X$ и касающуюся прямой $BC$, а через $\omega_c$ — окружность, проходящую через точки $C$, $Y$ и касающуюся прямой $BC$. Докажите, что окружность с центром в точке $K$ и радиусом $KP$ касается 3 окружностей: $\omega_b$, $\omega_c$ и $\Gamma$.
комментарий/решение

Задача №5. Дана парабола $\Delta$ с фокусом $H$. На параболе $\Delta$ выбираются точки $A$, $B$ и $C$ такие, что ортоцентр треугольника $ABC$ совпадает с точкой $H$. Докажите, что у всех таких треугольников $ABC$ одинаковый радиус вписанной окружности.
комментарий/решение(1)