Processing math: 100%

6-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2019 год, третья лига, 11-12 классы


Верно ли, что в любом выпуклом n-угольнике, n>3, существует вершина и выходящая из неё диагональ такие, что диагональ образует острые углы с обеими сторонами, выходящими из этой вершины?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
3 года 10 месяца назад #

Ответ - Да. Вот подробности:

Обозначим боковой треугольник как треугольник, который имеет общую вершину с многоугольником и у которого хотя бы одна сторона совпадает с многоугольником.

Утверждение 1: Предположим, что сам многоугольник имеет острый внутренний угол. Тогда многоугольник однозначно удовлетворяет условию задачи.

Дво: Возьмите ту конкретную вершину, которая имеет острый внутренний угол. Для этого подойдет любая диагональ, так как она четко делит острый угол на два острых угла.

Утверждение 2: n5.

Дво: Это явно следует из того, что из Утверждение 1: случай n=4 сходится к случаю, когда это прямоугольник. Но это явно удовлетворяет условию задачи, так как любой прямой угол должен делиться на два острых угла.

Для Утверждение 3 и далее обозначайте прямой угол и тупой как одну и ту же группу: тупой сам по себе.

Утверждение 3: Все многоугольники с существующей острой стороной треугольника удовлетворяют.

Дво: Пусть сам многоугольник будет A1A2A3An. Предположим, что существует треугольник с острой стороной, БОО пусть это будет A1A2Ai.

Поэтому, рассматривая диагональ A2Ai и вершину A2, это дает нам что. AiA2A3 должен быть тупым

Продолжая далее, мы имеем, что AiAnAn+1 должен быть тупым для всех nN.

Тем временем, это дает нам AiAi2Ai1 тупой.

Аналогично, делая это и с другой стороны: Рассматривая диагональ A1Ai и вершину A1, это дает нам что. AnA1Ai должен быть тупым.

Это дает нам что. AnAn+1Ai должен быть тупым для всех nN.

Таким образом, у нас будет Ai+1Ai+2Ai должен быть тупым.

Теперь обратите внимание, что из двух вышеприведенных фактов следует, что Ai+2Ai+1Ai должен быть острым. По Утверждение 1 следовательно, мы закончили.

Утверждение 4: Все многоугольники удовлетворяют

Дво:Из предыдущего утверждения , Таким образом, мы имеем дело со случаем, когда острых треугольников не осталось. В этом случае все боковые треугольники были тупыми.

Теперь обратите внимание, что аналогичным методом, как в Утверждение 3, в дальнейшем можно сделать угол многоугольника острым, и на этом задача будет решена.