6-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2019 год, третья лига, 11-12 классы
Комментарий/решение:
Ответ - Да. Вот подробности:
Обозначим боковой треугольник как треугольник, который имеет общую вершину с многоугольником и у которого хотя бы одна сторона совпадает с многоугольником.
Утверждение 1: Предположим, что сам многоугольник имеет острый внутренний угол. Тогда многоугольник однозначно удовлетворяет условию задачи.
Д−во: Возьмите ту конкретную вершину, которая имеет острый внутренний угол. Для этого подойдет любая диагональ, так как она четко делит острый угол на два острых угла.
Утверждение 2: n≥5.
Д−во: Это явно следует из того, что из Утверждение 1: случай n=4 сходится к случаю, когда это прямоугольник. Но это явно удовлетворяет условию задачи, так как любой прямой угол должен делиться на два острых угла.
Для Утверждение 3 и далее обозначайте прямой угол и тупой как одну и ту же группу: тупой сам по себе.
Утверждение 3: Все многоугольники с существующей острой стороной треугольника удовлетворяют.
Д−во: Пусть сам многоугольник будет A1A2A3…An. Предположим, что существует треугольник с острой стороной, БОО пусть это будет A1A2Ai.
Поэтому, рассматривая диагональ A2Ai и вершину A2, это дает нам что. ∠AiA2A3 должен быть тупым
Продолжая далее, мы имеем, что ∠AiAnAn+1 должен быть тупым для всех n∈N.
Тем временем, это дает нам ∠AiAi−2Ai−1 тупой.
Аналогично, делая это и с другой стороны: Рассматривая диагональ A1Ai и вершину A1, это дает нам что. ∠AnA1Ai должен быть тупым.
Это дает нам что. ∠AnAn+1Ai должен быть тупым для всех n∈N.
Таким образом, у нас будет ∠Ai+1Ai+2Ai должен быть тупым.
Теперь обратите внимание, что из двух вышеприведенных фактов следует, что ∠Ai+2Ai+1Ai должен быть острым. По Утверждение 1 следовательно, мы закончили.
Утверждение 4: Все многоугольники удовлетворяют
Д−во:Из предыдущего утверждения , Таким образом, мы имеем дело со случаем, когда острых треугольников не осталось. В этом случае все боковые треугольники были тупыми.
Теперь обратите внимание, что аналогичным методом, как в Утверждение 3, в дальнейшем можно сделать угол многоугольника острым, и на этом задача будет решена.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.