6-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2019 год, третья лига, 11-12 классы
Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках A и B. На касательной к окружности ω1, проведённой в точке A, выбрана такая точка C, что ∠ABC=90∘. Через точку C проведена прямая ℓ, которая пересекает ω2 в точках P и Q. Прямые AP и AQ вторично пересекают ω1 в точках X и Z соответственно. Пусть Y — основание перпендикуляра из точки A на прямую ℓ. Докажите, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Утверждение:ABCY вписанный
∠AYC=∠ABC=90∘
Утверждение:QBXY вписанный
∠YQB=∠PQB=∠PAB=∠ZAB=∠ZXB=∠YXB
∠AXZ=∠CAZ=∠CAP=∠ACP+∠CPA=∠ACY+∠QPA=∠QBA+∠ABY=∠QBY=∠QXY
Что и завершает доказательство.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.