6-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2019 год, третья лига, 11-12 классы

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. На касательной к окружности $\omega_1$, проведённой в точке $A$, выбрана такая точка $C$, что $\angle ABC = 90^\circ$. Через точку $C$ проведена прямая $\ell$, которая пересекает $\omega_2$ в точках $P$ и $Q$. Прямые $AP$ и $AQ$ вторично пересекают $\omega_1$ в точках $X$ и $Z$ соответственно. Пусть $Y$ — основание перпендикуляра из точки $A$ на прямую $\ell$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой.

Комментарий/решение

$Утверждение$:$ABCY$ вписанный

$\angle AYC=\angle ABC=90^\circ$

$Утверждение$:$QBXY$ вписанный

$$\angle YQB=\angle PQB=\angle PAB=\angle ZAB=\angle ZXB=\angle YXB$$

$$\angle AXZ=\angle CAZ=\angle CAP=\angle ACP+\angle CPA =\angle ACY+\angle QPA=\angle QBA+\angle ABY=\angle QBY=\angle QXY$$

Что и завершает доказательство.