қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2019 год
Есеп №1. В последовательности целых чисел $a_1$, $a_2$, $ldots$
произведение $a_1a_2$ отрицательно, а при $n > 2$ для вычисления $a_n$
среди всех пар $(i, j)$, $1\leq i < j < n$, которые
ранее не выбирались, выбирается одна пара $(i, j)$,
для которой $a_i+a_j$ имеет наименьшую абсолютную величину, и полагается
$a_n=a_i+a_j$. Докажите, что $a_i=0$ при некотором $i$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Треугольник $ABC$, в котором $AB < AC$, вписан в окружность $\omega$. Окружности $\gamma_1$ и $\gamma_2$ касаются прямых $AB$ и $AC$, а их центры лежат на окружности $\omega$. Докажите, что точка $C$ лежит на общей внешней касательной к окружностям $\gamma_1$ и $\gamma_2$.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. План картинной галереи — клетчатая фигура,
где каждая клетка — это зал, и из любой клетки можно дойти до любой другой,
переходя в соседние по сторонам клетки.
Смотритель, находясь в одном из залов, следит за всеми залами,
в которые можно попасть из этой клетки одним ходом ладьи
(не выходя за пределы галереи).
Какое наименьшее число смотрителей потребуется,
чтобы в любой галерее из $n$ залов ($n > 1$) все залы оказались под присмотром?
(
H. Alpert,
E. Roldan
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. На Всероссийской олимпиаде разрешено награждать строго меньше $45\% $ участников.
В олимпиаде участвовало более 20 участников. После олимпиады Власти заявили, что результаты низкие, так как доля награждённых заметно отличается от $45\%.$ Жюри ответило, что доля награждённых и так была максимально возможной на этой олимпиаде и даже на любой олимпиаде с меньшим числом участников. Тогда Власти приказали увеличить число участников
на следующих олимпиадах с тем, чтобы доля награжденных стала хотя бы в два раза ближе к $45\%.$ Докажите, что количество участников потребуется увеличить хотя бы вдвое.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. На Всероссийской олимпиаде разрешено награждать строго меньше $45\% $ участников.
В олимпиаде участвовало более 20 участников. После олимпиады Власти заявили, что результаты низкие, так как доля награждённых заметно отличается от $45\%.$ Жюри ответило, что доля награждённых и так была максимально возможной на этой олимпиаде и даже на любой олимпиаде с меньшим числом участников. Тогда Власти приказали увеличить число участников
на следующих олимпиадах с тем, чтобы доля награжденных стала хотя бы в два раза ближе к $45\%.$ Докажите, что количество участников потребуется увеличить хотя бы вдвое.
(
A. Globus,
H. Parshall
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Существуют ли такие 6 натуральных чисел,
что наибольший общий делитель каждых двух из них — простое число, не превосходящее 26,
и при этом каждое такое простое число является наибольшим общим делителем каких-то двух из этих шести чисел?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №7. Окружность $\omega$ касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ и
пересекает сторону $AC$ в точке $K$.
Оказалось, что касательная к $\omega$ в точке $K$ симметрична прямой $AC$ относительно прямой $BK$. Чему может быть равна разность $AK-CK$, если $AB=9$ и $BC=11$?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Андрей, Боря, Витя и Гена играют на доске $1000\times 1000$. Ходят по очереди — сначала Андрей, потом Боря, затем Витя и наконец Гена, затем снова Андрей и т.д. Каждым ходом игрок должен закрасить еще незакрашенные клетки, образующие прямоугольник $2\times 1$,
$1\times 2$, $1\times 3$ или $3\times 1$. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Докажите, что какие-то трое ребят могут договориться и играть так, чтобы оставшийся заведомо проиграл.
(
С. Берлов,
Н. Власова
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)